2015-01-21
1470
Пусть задана система из 
линейных уравнений с 
неизвестными 
:
(1)
где числа 
называются коэффициентами системы,
а числа 
— свободными членами.
Решением системы (1) называется такой набор чисел 
, что при его подстановке в систему вместо соответствующих неизвестных (
вместо 
,…, 
вместо 
) каждое из уравнений системы обращается в тождество.
Совместной называется система, которая имеет хотя бы одно решение.
Несовместной называется система, которая не имеет ни одно го решения.
Определённой называется система, которая имеет единственное решение.
Неопределённой называется система, которая имеет более одного решения.
Однородной называется система, если 
. В противном случае система называется неоднородной.
Матрицей системы называется матрица, составленная из коэффициентов системы:
.
Расширенной матрицей системы называется матрица
.
Теорема Кронекера-Капелли. Cистема линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы равен рангу расширенной матрицы:
|
|
|
Исследовать систему линейных уравнений означает определить, совместна она или нет, а для совместной системы — выяснить, определённа она или нет. При этом возможны три варианта:
1) Если 
, то система несовместна. (*)
2) Если 
, где — число неизвестных, то система совместна и определённа. (**)
3) Если 
, то система совместна и неопределённа. (***)
§ 2. Решение систем линейных уравнений
Метод Крамера
Пусть система из линейных уравнений с неизвестными записана в матричной форме: 
, где 
— матрица системы,
— столбец неизвестных, 
— столбец свободных членов.
Пусть 
— определитель матрицы 
и пусть 
, т.е.
Правило Крамера. Если определитель системы (1) , то эта система совместна и определённа, т.е. имеет единственное решение, получаемое по формулам:
 , 
где  — определитель, получаемый из определителя заменой  -го столбца на столбец свободных членов.
|
Пример 2.1. Решите систему уравнений по формулам Крамера:
Найдём определитель матрицы системы: 
.
Т.к. , то решение системы существует и единственно.
Найдём определитель 
. В определитель вместо первого столбца 
подставим столбец свободных членов 
:
.
Определитель 
получается из подстановкой столбца свободных членов вместо второго столбца 
:
.
Отсюда получим решение системы уравнений:
; 
.
Ответ: 
Матричный метод
Пусть система из линейных уравнений с неизвестными записана в матричной форме: , Тогда, если определитель , то система совместна и определённа, её решение задаётся формулой:
Пример 2.2. Решите систему уравнений примера 2.1 с помощью обратной матрицы: 
.
1) 
Т.к. 
, то решение системы существует и единственно.
|
|
|
2) Найдём алгебраические дополнения к элементам матрицы 
: 
, 
, 
, 
.
3) Найдём присоединённую матрицу: 
.
4) Найдём матрицу 
: 
.
5) Найдём решение системы уравнений:
.
Ответ: 
.
Пример 2.3. Решите систему уравнений по формулам Крамера и с помощью обратной матрицы: 
I способ, метод Крамера.
.
.
.
.
, 
, 
.
Ответ: 
II способ, метод обратной матрицы.
1) 
.
2) 
Алгебраические дополнения элементов матрицы :
3) Присоединенная матрица:
.
4) Обратная матрица:
.
5) Решение системы:
.
Ответ:
