Математическая модель – это приближенное описание какого либо процесса или явления с помощью математических формул. В реальном мире любые процессы или явления бесконечно сложны для понимания. Чтобы описать любой объект, явление или процесс необходимо выявить определяющие его свойства, внутренние связи и закономерности. Роль определяющих характеристик на протекание процесса, поведение объекта или явления. Определить необходимую и достаточную степень точности, необходимую для решения конкретной задачи.
Рассмотрим простую задачу: определение скорости предмета падающего на землю. Что в данном случае является определяющими характеристиками? Еще из школьного курса физики мы помним, что скорость определяется высотой с которой падает предмет и ускорением свободного падения, однако это определение справедливо только для падения в безвоздушном пространстве или при небольших высотах, когда сила трения о воздух имеет очень маленькое значение. В данном случае при построении математической модели (математическом описании процесса) следует учитывать множество исходных данных. Если исходные данные и точность вычисления допускают пренебрежение сопротивлением воздуха то его учитывать нет необходимости, если же нет, то следует учесть при построении модели то, что воздух будет уменьшать скорость падения.
|
|
При математическом моделировании изучаемый объект, явление или процесс переводиться на язык математических формул, систем уравнений и неравенств и далее в эту систему вводятся различные исходные данные, сначала контрольные, для определения преемственности модели, а затем неизвестные, для углубления понимания объекта, процесса или явления и прогнозирования.
Процесс построения математической модели объектов состоит из трех этапов. Первый этап состоит в том, что определяются основные свойства и закономерности поведения объекта, процесса или явления. Обычно эти свойства и закономерности строятся на основе предположений или экспериментальных данных.
Следующим этапом производят переложение этих свойств и закономерностей на язык математических формул. Обычно ищут золотую середину, между количеством учитываемых факторов, влияющих на объект, явление или протекание процесса и сложностью составления математических отношений, исходя из того, что все учесть невозможно но необходимо обеспечить достаточную точность работы модели. Кроме того, исходные данные, для построения математической модели в большинстве случаев берут на основе экспериментальных наблюдений, которые как известно содержат определенные погрешности, которые переносятся и на математические соотношения. В результате подобных неточностей, системы уравнений и неравенств моделирующие одни свойства или внутренние взаимосвязи объектов явлений или процессов могут противоречить системам моделирующим другие свойства тех же самых объектов, явлений или процессов. Такие модели естественно пересматриваются.
|
|
Последним этапом математического моделирования является решение полученной математической задачи. Решив задачу, необходимо проанализировать полученные результаты и сравнить с их экспериментальными. Если окажется, что результаты вычислений не соответствуют экспериментальным данным, то модель пересматривается. Например, если пользуясь какой либо моделью солнечной системы, мы рассчитываем траекторию полета планеты, и эта траектория не совпадет с той, что окажется в результате наблюдений, то такая модель требует изменений.
В случае успешного тестирования математической модели, на ее основе пишут алгоритм, переводят ее на язык вычислительной техники и далее эти устройства обрабатывают модель с неизвестными параметрами.