2015-01-21
479Рис.4.1
Уравнение Бернулли. Пусть рассматриваемые сечения трубки тока идеальной жидкости малы, так что можно считать величины скорости 
и давления 
в них постоянными, т.е. 
и 
, в сечении 
и 
, 
в 
(рис. 4.2).
При движении жидкости за малый промежуток времени 
сечение , переместится в положение 
пройдя путь 
, а сечение - в положение 
, пройдя 
. Объем жидкости, заключенный между сечениями 
и вследствие уравнения неразрывности будет 
равен объем жидкости, заключенному в промежутке
Рис. 4.2 между и . Трубка имеет некоторый наклон
и центры ее сечений и находятся на высотах 
и 
над заданным
горизонтальным уровнем. Учитывая, что 
и 
, изменение полной энергии выделенной массы жидкости, расположенной в начальный момент между сечениями и , может быть представлено в виде
. (4.3)
Это изменение, согласно закону сохранения энергии, обусловлено работой внешних сил. В данном случае это силы давления 
и 
, действующие, соответственно, на сечения и , где и соответствующие давления. Для любого сечения трубки тока
, (4.4)
где 
– плотность жидкости Равенство (4.4) выражает основной закон гидродинамики, которое называется также уравнением Бернулли по имени ученого, получившего его впервые.
Давление в потоке жидкости. Следует отметить, что в выражении (4.4) все слагаемые имеют размерность давления и соответственно называются: 
–динамическим, 
– гидростатическим или весовым, – статическим давлением, а их сумма полным давлением. С учетом этого соотношение (4.4) можно выразить словами: в стационарном течении идеальной жидкости полное давление в любом сечении трубки тока (в пределе- линии тока) – величина постоянная, а скорость потока
. (4.5)
Истечение жидкости из отверстия. Пусть отверстие находящееся вблизи дна сосуда заполненного жидкостью, открыто (рис. 4.3). Выделим трубку тока с сечениями - на уровне открытой поверхности жидкости в сосуде; - на уровне отверстия - . Для них уравнение Бернулли имеет вид
. (4.6)
Здесь 
, где 
- атмосферное давление. Поэтому из (4.6) имеем
(4.7)
Если 
, то 
и членом 
можно
Рис. 4.3 пренебречь. Тогда из (4.7) получим
.
Следовательно, скорость истечения жидкости будет равна:
, (4.8)
где 
. Формула (4.8) получена впервые Торричелли и носит его имя. За малый промежуток времени из сосуда вытекает объем жидкости 
. Соответствующая ему масса 
, где - плотность жидкости. Она имеет импульс 
. Следовательно, сосуд сообщает этот импульс вытекающей массе 
, т.е. действует силой
.
По третьему закону Ньютона на сосуд будет при этом действовать сила 
, т.е.
. (4.9)
Здесь 
- сила реакции текущей жидкости. Если сосуд находится на тележке, то он под действием силы 
придет в движение, которое называется реактивным движением.
Ламинарное и турбулентное течения. Вязкость. Течение жидкости, при котором каждый ее слой скользит относительно других таких же слоев, и отсутствует их перемешивание, называется ламинарным или слоистым. Если внутри жидкости происходит образование вихрей и интенсивное перемешивание слоев, то такое течение называется турбулентным.
Установившееся (стационарное) течение идеальной жидкости является ламинарным при любых скоростях. В реальных жидкостях между слоями возникают силы внутреннего трения, т.е. реальные жидкости обладают вязкостью. Поэтому, каждый из слоев тормозит движение соседнего слоя. Величина силы внутреннего трения пропорциональна площади соприкосновения слоев 
и градиенту скорости 
, т.е.
, (4.10)
где 
- коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости. Единицей его является 
(Паскаль- секунда). Вязкость зависит от рода жидкости и от температуры. С ростом температуры вязкость уменьшается.
Если сила внутреннего трения 
невелика и скорость течения мала, то движение практически является ламинарным. При больших силах внутреннего трения нарушается слоистый характер течения, начинается интенсивное перемешивание, т.е. происходит переход к турбулентности. Условия этого перехода при течении жидкости по трубам определяется величиной 
кр, называемой числом Рейнольдса
, (4.11)
где - плотность жидкости, - средняя по сечению трубы скорость течения, 
- диаметр трубы. Опыты показывают, что при 
течение ламинарное, при 
оно становится турбулентным. Для труб круглого сечения радиуса 
число Рейнольдса 
. Влияние вязкости приводит к тому, что при скорость течения по трубе круглого сечения у различных слоев оказывается разной. Ее среднее значение определяется формулой Пуазейля
, (4.12)
где - радиус трубы, (
)- разность давлений на концах трубы, 
- ее длина.
Влияние вязкости обнаруживается и при взаимодействии потока с неподвижным телом. Обычно, в соответствии с механическим принципом относительности, рассматривается обратная задача, Например, Стоксом установлено, что при 
на шар, движущийся в жидкости, действует сила трения
, (4.13)
где r- радиус шарика, - скорость его движения. Формула Стокса (4.13) в лабораторном практикуме применяется для определения коэффициента вязкости жидкостей.
Колебания и волны
Колебательным движением, или просто колебанием, называется движение, характеризующееся той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение. С колебаниями мы встречаемся при изучении самых различных физических явлений: звука, света, переменных токов, радиоволн, качаний маятника и т.д. Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, все они совершаются по некоторым общим для них закономерностям. Наипростейшее из них- гармоническое колебательное движение. Колебательное движение называется гармоническим, если изменение физической величины х (смещения) происходит по закону косинуса (или синуса)
, (4.14)
где величина А – равная максимальному смещению х системы из положения равновесия, называется амплитудой колебания, (
, определяет величину смещения х в данный момент времени 
и называется фазой колебания. В момент начала отсчета времени (
фаза колебания равна 
. Поэтому величина называется начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах, 
- циклическая частота, равная числу полных колебаний, происходящих за время 
с.
Период - это время одного полного колебания. Он связан с циклической частотой следующим соотношением
. (4.15)
Очевидно, линейная частота 
(число колебаний в единицу времени) связана с периодом Т следующим образом
(4.16)
За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1с. Эту единицу называют герцем (Гц). Частота в 103Гц называется килогерцем (кГц), в 106Гц, мегагерцем (МГц).
Колебательное движение характеризуется не только смещением х, но также скоростью и ускорением а. Их значения могут быть определены из выражения (4.14).
Продифференцировав (4.14) по времени, получим формулу скорости
. (4.17)
Как видно из (4.17), скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна 
. Из сравнения (4.14) и (4.17) следует, что скорость опережает смещение по фазе на 
.
Продифференцировав (4.14) еще раз по времени, найдем выражение для ускорения
. (4.18)
Как следует из (4.14) и (4.18), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.
Уравнение плоской бегущей волны
Уравнением волны называется выражение, описывающее зависимость смещения 
колеблющейся частицы от координат 
и времени :
. (4.20)
Пусть точки, расположенные в плоскости 
, совершают колебания по закону 
. Колебания частиц среды в точке 
(рис.4.4), расположенной на расстоянии 
от источника колебаний 
, будут происходить по тому же закону, но, будут отставать по времени от колебаний источника на 
(где - скорость распространения волны). Уравнение колебания этих частиц имеет вид: 
(4.20)
Рис.4.4
| Так как точка  была выбрана произвольно, то уравнение (5.7) позволяет определить смещение любой точки среды, вовлеченной в колебательный процесс, в любой момент времени, поэтому называется уравнением плоской бегущей волны. В общем случае оно имеет вид:
 (4.21)
где  – амплитуда волны;  – фаза плоской волны;  – циклическая частота волны;  – начальная фаза колебаний.
|
Подставляя в уравнение (4.21) выражения для скорости (
) и циклической частоты (
), получим:
(4.22)
Если ввести волновое число 
, то уравнение плоской волны можно записать в виде:
. (4.23)
Скорость 
в этих уравнениях представляет собой скорость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью. Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна 
. Для нахождения скорости ее перемещения разделим выражение для фазы на и продифференцируем по времени. Получим:
, откуда .
Стоячая волна. Если в среде одновременно распространяется несколько волн, то выполняется принцип суперпозиции (наложения): каждая волна ведет себя так, как будто другие волны отсутствуют, а результирующее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают частицы, участвуя в каждом из слагающих волновых процессов.
Большой практический интерес представляет наложение двух плоских волн
и 
, (4.24)
с одинаковыми частотами и амплитудами , распространяющихся навстречу друг другу вдоль оси . Сложив эти уравнения, получим уравнение результирующей волны, называемой стоячей волн 
. (4.25)
Рис.4.5
| Амплитуда стоячей волны  (4.26) является периодической функцией координаты и не зависит от времени.
В точках среды, где   , амплитуда волны достигает максимального значения ( ). Эти точки называются пучностями ( ) стоячей волны. Координаты пучностей  .
|
Таблица 4.1
В бегущей волне
| В стоячей волне
|
| Амплитуда колебаний | |
| Все точки среды колеблются с одинаковыми амплитудами
| Все точки среды колеблются с разными амплитудами 
|
| Фаза колебаний | |
Фаза колебаний  зависит от координаты рассматриваемой точки
| Все точки между двумя узлами колеблются в одинаковой фазе . При переходе через узел фаза колебаний изменяется на  .
|
| Перенос энергии | |
| Энергия колебательного движения переносится в направлении распространения волны. | Переноса энергии нет, лишь в пределах  происходят взаимные превращения энергии.
|
В точках среды, где 
амплитуда волны обращается в ноль (
). Эти точки называются узлами (
) стоячей волны. Координаты узлов 
.
Расстояние между двумя соседними узлами (или между двумя соседними пучностями), называемое длиной стоячей волны, равно половине длины 
бегущей волны 
. Таким образом, при сложении двух бегущих волн образуется стоячая волна, узлы и пучности которой находятся все время в одних и тех же местах.
Характеристики бегущей и стоячей волн приведены в табл.5.1.
Осн. 1 [99-101, 108-116 ], 5 [48-54]. 6 [36-46 ]
Доп. 18 [129-157], 22 [ 25-44]
Контрольные вопросы:
Осн. 1 [131-152 ], 8 [56-66 ].
Контрольные вопросы:
1. Может ли быть одинаковым давление в двух точках, лежащих на разных уровнях в установленной наклонно сужающейся трубке, по которой течет идеальная жидкость?
2. Почему струя жидкости, вытекающая из отверстия, по мере удаления от отверстия все больше сжимается?
3.Как соотносятся фазы колебания ускорения и смещения при гармонических колебаниях.
