По физике, ч. 1

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Механическое движение. Роль системы отсчёта. Способы описания движения материальной точки. Основные кинематические величины: перемещение, скорость, ускорение.

Механическим движением называется движение, состоящее в изменении взаимного расположения тел или их частей в пространстве с течением времени. Система отсчета – это совокупность тела отсчета и часов.

Тело отсчета – абсолютно твердое тело, с которым жестко связана система координат. Наиболее часто используется прямоугольная декартова система координат, в основе которой лежит базис. Материальной точкой называют тело, форма и размеры которого не существенны в условиях данной задачи. При определенных условиях систему тел можно рассматривать как систему материальных точек.

Перемещение описывает положение (позицию) объекта.

Скорость показывает, насколько быстро объект меняет свое положение во времени, а ускорение – насколько быстро меняется скорость. На рисунке 1-5 изображены колебания маятника, наблюдаемые со стороны датчика перемещения, а также диаграммы перемещения, скорости и ускорения. Перемещения маятника измеряют относительно вертикали (положение равновесия).

Ускорение опережает перемещение на 180 градусов, а скорость – на 180 град. минус 90 град., т.е. на 90 градусов. На графике максимум ускорения наступает тогда, когда скорость равна нулю и начинает возрастать, перемещение и ускорение изменяются в противоположных направлениях.

Важное замечание: углы фаз здесь основаны на математическом определении фазы, а не на данных с прибора.

2. Кинематические уравнения равнопеременного движения.

Движение точки называется равнопеременным, если вектор ускорения постоянен.

Так как, исходя из определения ускорения, элементарное приращение скорости равно , то полное изменение вектора скорости за конечное время равно сумме элементарных приращений скорости, т.е. равно интегралу от ускорения по времени . Откуда скорость в момент времени t может быть определена по уравнению

. (1.9)

Элементарное изменение радиус-вектора точки, по определению скорости, равно . Полное изменение вектора перемещения за конечное время будет равно сумме элементарных приращений, то есть будет равно интегралу от вектора скоростипо времени . Откуда, радиус – вектор равен

(1.10)

Применим эти уравнения для вывода скорости и радиус-вектора точки при равнопеременном движении. Равнопеременное движение – это движение с постоянным по величине и по направлению ускорением. Например, полет тела в поле тяжести Земли с ускорением свободного падения g = 9,81 м/с².

Получим уравнение для скорости. Для этого проинтегрируем уравнение (1.9) при постоянном векторе ускорения, , в результате получим

. (1.11)

Подставив формулу скорости (1.11) под знак интеграла для вектора перемещения, получим основное кинематическое уравнение равнопеременного движения

. (1.12)

При решении конкретных задач векторные уравнения (1.11) и (1.12) проецируют на выбранные оси координат и получают систему уже алгебраических уравнений для решения задачи.

3. Основные динамические величины: сила, масса, импульс тела, момент силы, момент импульса.

Сила-есть результат взаимодействия тел, причина изменения скорости движения тел, или их деформации. F=m*a;

Масса-мера инертности тел, объект и источник тяготения.

Импульс-произведение массы тела на скорость его движения: P=m*v;

Момент силы-произведение силы на ее плечо. Плечо силы-кратчайшее расстояние от оси вращения до линии, вдоль которой действует сила: M=F*h;

Момент импульса-произведение импульса тела на радиус вращения: M1=P*R=m*v*R;

4. Первый закон Ньютона. Инерциальные системы отсчета.

Инерциальными называют системы отсчета, в которых выполняется закон инерции. Закон же инерции заключается в том, что тела сохраняют свою скорость неизменной, если на них не действуют другие тела.

Формулировка самого Ньютона такова: «Всякое тело продолжает удерживаться в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменить это состояние».

Однако на практике этот закон выполняется не всегда. Убедиться в этом можно элементарно. Когда человек стоит, не держась за поручни, в движущемся автобусе, и автобус резко тормозит, то человек начинает двигаться вперед относительно автобуса, хотя его не понуждает к этому ни одна видимая сила.

То есть, относительно автобуса первый закон Ньютона в изначальной формулировке не выполняется. Очевидно, что он нуждается в уточнении. Уточнением и является введение инерциальных систем отсчета. То есть, таких систем отсчета, в которых первый закон Ньютона выполняется. Это не совсем понятно, поэтому попробуем перевести все это на человеческий язык.

5. Второй закон Ньютона. Динамические уравнения движения.

Второй закон Ньютона – основной закон динамики поступательного движения – отвечает на вопрос, как изменяется механическое движение материального объекта (точки, тела) под действием приложенных к нему сил.
В динамике рассматриваются два типа задач, решения которых находятся на основе второго закона Ньютона. Задачи первого типа состоят в том, чтобы, зная движение тела, определить действующие на него силы. Классическим примером решения такой задачи является открытие Ньютоном закона всемирного тяготения: зная установленные Кеплером на основании результатов наблюдений законы движений планет, Ньютон доказал, что это движение происходит под действием силы, обратно пропорциональной квадрату расстояния между планетой и Солнцем.

Задачи второго типа являются в динамике основными и состоят в том, чтобы по действующим на тело силам определить закон его движения (уравнение движения). Для решения этих задач необходимо знать начальные условия, т.е. положение и скорость тела в момент начала его движения под действием заданных сил. Примерами таких задач являются следующие: а) по величине и направлению скорости снаряда в момент его вылета из канала ствола и действующим на снаряд при его движении силе тяжести и силе сопротивления воздуха найти закон движения снаряда, в частности его траекторию, горизонтальную дальность полета, время движения до цели; б) по известным скорости автомобиля в момент начала торможения и силе торможения найти время движения и путь до остановки.

Второй закон Ньютона формулируется следующим образом: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), прямо пропорционально действующей силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела):

(2.3)
где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от выбора системы единиц. В международной системе (СИ) k =1, поэтому
(2.4)
Второй закон Ньютона обычно записывается в следующей форме:

или
(2.5)
Вектор mv=p называется импульсом или количеством движения. В отличие от ускорения и скорости, импульс является характеристикой движущегося тела, отражающей не только кинематическую меру движения (скорость), но и его важнейшее динамическое свойство – массу.

Таким образом, можно записать:

(2.6)
Выражение (2.6) является более общей формулировкой второго закона Ньютона: скорость изменения импульса материальной точки равна действующей на нее силе.

Это уравнение называется уравнением движения материальной точки.

Единица силы в системе СИ – ньютон (Н):

1 Н – это сила, которая телу массой в 1 кг сообщает ускорение 1 м/с² в направлении действия силы:

1 Н = 1 кг*1 м/с².

При действии на материальную точку нескольких сил справедлив принцип независимости действия сил: если на материальную точку действуют одновременно несколько сил, то каждая из этих сил сообщает материальной точке ускорение, определяемое вторым законом Ньютона так, как если бы других сил не было:

где сила называется равнодействующей сил или результирующей силой.

Таким образом, если на тело действует одновременно несколько сил, то, согласно принципу независимости действия сил, под силой F во втором законе Ньютона понимают результирующую силу.

6. Третий закон Ньютона. Принцип реактивного движения.

Закон этот гласит, что если тело А воздействует с некоей силой на тело В, то тело В также воздействует на тело А с равной по величине и противоположной по направлению силой. Иными словами, стоя на полу, вы воздействуете на пол с силой, пропорциональной массе вашего тела. Согласно третьему закону Ньютона пол в это же время воздействует на вас с абсолютно такой же по величине силой, но направленной не вниз, а строго вверх. Этот закон экспериментально проверить нетрудно: вы постоянно чувствуете, как земля давит на ваши подошвы.

Тут важно понимать и помнить, что речь у Ньютона идет о двух силах совершенно разной природы, причем каждая сила воздействует на «свой» объект. Когда яблоко падает с дерева, это Земля воздействует на яблоко силой своего гравитационного притяжения (вследствие чего яблоко равноускоренно устремляется к поверхности Земли), но при этом и яблоко притягивает к себе Землю с равной силой. А то, что нам кажется, что это именно яблоко падает на Землю, а не наоборот, это уже следствие второго закона Ньютона. Масса яблока по сравнению с массой Земли низка до несопоставимости, поэтому именно его ускорение заметно для глаз наблюдателя. Масса же Земли, по сравнению с массой яблока, огромна, поэтому ее ускорение практически незаметно. (В случае падения яблока центр Земли смещается вверх на расстояние менее радиуса атомного ядра.)

Материальные точки взаимодействуют друг с другом силами, имеющими одинаковую природу, направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, равными по модулю и противоположными по направлению:

7. Принцип относительности Галилея. Обобщение принципа на все явления природы.

Законы природы, определяющие изменение состояния движения механических систем, не зависят от того, к какой из двух инерциальных систем отсчета они относятся. Это и есть принцип относительности Галилея.

Из преобразований Галилея и принципа относительности следует, что взаимодействия в классической физике должны передаваться с бесконечно большой скоростью c = ∞, т. к. в противном случае можно было бы одну инерциальную систему отсчета отличить от другой по характеру протекания в них физических процессов.

Из формулы для ускорений следует, что если движущаяся система отсчета движется относительно первой без ускорения, то есть \ a_o = o, то ускорение \vec a тела относительно обеих систем отсчета одинаково.

Поскольку в Ньютоновской динамике из кинематических величин именно ускорение играет роль (см.второй закон Ньютона), то, если довольно естественно предположить, что силы зависят лишь от относительного положения и скоростей физических тел (а не их положения относительно абстрактного начала отсчета), окажется, что все уравнения механики запишутся одинаково в любой инерциальной системе отсчета — иначе говоря, законы механики не зависят от того, в какой из инерциальных систем отсчета мы их исследуем, не зависят от выбора в качестве рабочей какой-либо конкретной из инерциальных систем отсчета. Также — поэтому — не зависит от такого выбора системы отсчета наблюдаемое движение тел (учитывая, конечно, начальные скорости). Это утверждение известно как принцип относительности Галилея, в отличие от Принципа относительности Эйнштейна.

8. Движение материальной точки по окружности. Центростремительное ускорение. Угловая скорость, угловое ускорение. Связь между линейной и угловой скоростью, между линейным и угловым ускорением.

Движение точки по окружности может быть очень сложным (рис. 17).

Рассмотрим подробно движение точки по окружности, при котором v = const. Такое движение называется равномерным движением по окружности. Естественно, вектор скорости не может быть неизменным (v не равно const), так как направление скорости постоянно меняется.

Время, за которое траектория точки опишет окружность, называется периодом обращения точки (Т). Число оборотов точки в одну секунду называется частотой обращения (v). Период обращения можно найти по формуле:

Центростремительное ускорение — компонента ускорения точки, характеризующая быстроту изменения направления вектора скорости для траектории с кривизной (вторая компонента, тангенциальное ускорение, характеризует изменение модуля скорости). Направлено к центру кривизны траектории, чем и обусловлен термин. По величине равно квадрату скорости, поделённому на радиус кривизны. Термин «центростремительное ускорение» эквивалентен термину «нормальное ускорение». Ту составляющую суммы сил, которая обуславливает это ускорение, называют центростремительной силой. формула

или

Углова́я ско́рость — векторная величина, являющаяся псевдовектором (аксиальным вектором) и характеризующая скорость вращения материальной точки вокруг центра вращения. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота точки вокруг центра вращения в единицу времени:

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик или винт с правой резьбой, если бы вращался в эту сторону. Другой мнемонический подход для запоминания взаимной связи между направлением вращения и направлением вектора угловой скорости состоит в том, что для условного наблюдателя, находящегося на конце вектора угловой скорости, выходящего из центра вращения, само вращение выглядит происходящим против часовой стрелки.

Связь между линейной и угловой скоростью. Скорость точки, движущейся по окружности, часто называют линейной скоростью, чтобы подчеркнуть ее отличие от угловой скорости.

При вращении твердого тела разные его точки имеют разные линейные скорости, но угловая скорость для всех точек одинакова.
Между линейной скоростью какой-либо точки вращающегося тела и угловой скорость существует связь. Точка, лежащая на окружности радиуса R, за один оборот пройдет путь 2πR. А так как, время одного оборота тела есть период Т, то модуль линейной скорости можно найти так:

v=2πR/T=2πRν или
v=ωR.
Отсюда видно, что, чем дальше расположена точка тела от оси вращения, тем больше ее линейная скорость.
Модуль ускорения точки, движущейся равномерно по окружности, можно выразить через угловую скорость тела и радиус окружности:
a=v2/R, но
v=ωR.

Следовательно,
a=ω2R.
Чем дальше расположена точка твердого тела от оси вращения, тем больше по модулю ускорение он имеет.

Линейное ускорение любой точки тела, вращающегося с постоянным угловым ускорением, равно произведению этого ускорения на расстояние этой точки от оси вращения.

9. Твердое тело. Поступательное и вращательное движение твердого тела. Момент инерции. Основной закон динамики вращательного движения твердого тела.

Твёрдое тело — это одно из четырёх агрегатных состояний вещества, отличающееся от других агрегатных состояний (жидкости, газов, плазмы) стабильностью формы и характером теплового движения атомов, совершающих малые колебания около положений равновесия. Поступательным движением твердого тела называется движение, при котором любая прямая, проведенная между его двумя точками, остается при движении параллельна самой себе. Вращательным движением твердого тела называется движение, когда все точки тела описывают окружности, центры которых лежат на прямой, называемой осью вращения и перпендикулярной к плоскостям, в которых вращаются точки тела.

Основной закон динамики вращательного движения твердого тела формулируется так: “Импульс момента силы , действующий на вращательное тело, равен изменению его момента импульса ”:

или

10. Закон сохранения импульса.

Зако́н сохране́ния и́мпульса (Зако́н сохране́ния количества движения) утверждает, что векторная сумма импульсов всех тел системы есть величина постоянная, если векторная сумма внешних сил, действующих на систему, равна нулю.

а) Если система замкнута, т. е. внешние силы отсутствуют, или если их сумма равна нулю, то импульс системы сохраняется:

Σ p = const.

б) Если внешние силы перпендикулярны некоторой оси x, то проекция импульса системы на это направление сохраняется:

Σp_x = const.

в) Если время взаимодействия мало (взрыв, удар), а внешняя сила имеет фиксированную величину (например, m g), то вкладом импульса этой силы F Δt в изменение импульса системы можно пренебречь.

11. Закон сохранения момента импульса.

Зако́н сохране́ния моме́нта и́мпульса (закон сохранения углового момента) — один из фундаментальных законов сохранения. Математически выражается через векторную сумму всех моментов импульса относительно выбранной оси для замкнутой системы тел и остается постоянной, пока на систему не воздействуют внешние силы. В соответствии с этим момент импульса замкнутой системы в любой системе координат не изменяется со временем.

Закон сохранения момента импульса есть проявление изотропности пространства относительно поворота.

В упрощённом виде: , если система находится в равновесии.

12. Кинетическая и потенциальная энергия. Потенциальное поле. Закон сохранения механической энергии.

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная функция, являющаяся мерой движения материальной точки и зависящая только от массы и модуля скорости материальных точек, образующих рассматриваемую физическую систему, энергия механической системы, зависящая от скоростей движения её точек в выбранной системе отсчёта. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения.

Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением.

Простым языком, кинетическая энергия - это энергия, которую тело имеет только при движении. Когда тело не движется, кинетическая энергия равна нулю.

Потенциальная энергия – это энергия взаимодействия тел. Потенциальная энергия поднятого над Землей тела – это энергия взаимодействия тела и Земли гравитационными силами. Потенциальная энергия упруго деформированного тела – это энергия взаимодействия отдельных частей тела между собой силами упругости.

Физическая величина, равная половине произведения массы тела на квадрат его скорости, называется кинетической энергией тела. Работа равнодействующей сил, приложенных к телу, равна изменению кинетической энергии тела.

Потенциальным называется поле, работа которого при переходе из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории. Потенциальными являются поле силы тяжести и электростатическое поле.

Сумма кинетической и потенциальной энергий системы тел называется полной механической энергией системы.

E = Ep + Ek

Закон сохранения механической энергии

Механическая энергия консервативной механической системы сохраняется во времени. Проще говоря, при отсутствии диссипативных сил (например, сил трения) механическая энергия не возникает из ничего и не может никуда исчезнуть.

Для замкнутой системы физических тел, например, справедливо равенство

Ek1 + Ep1 = Ek2 + Ep2,

где Ek1, Ep1 — кинетическая и потенциальная энергии системы какого-либо взаимодействия, Ek2, Ep2 — соответствующие энергии после.

Закон сохранения энергии — это интегральный закон. Это значит, что он складывается из действия дифференциальных законов и является свойством их совокупного действия.

Формулировка закона сохранения механической энергии.

Полная механическая энергия, т.е. сумма потенциальной и кинетической энергии тела, остается постоянной, если действуют только силы упругости и тяготения и отсутствуют силы трения.

13. Кинематика гармонического колебания.

Гармонические колебания — колебания, при которых физическая величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону. Кинематическое уравнение гармонических колебаний имеет вид.

или

где х — смещение (отклонение) колеблющейся точки от положения равновесия в момент времени t; А — амплитуда колебаний, это величина, определяющая максимальное отклонение колеблющейся точки от положения равновесия; ω — циклическая частота, величина, показывающая число полных колебаний, происходящих в течение 2π секунд; — полная фаза колебаний, — начальная фаза колебаний.

14. Динамика гармонического колебания. Квазиупругая сила.

Колебания, при которых изменения физических величин происходят по закону косинуса или синуса (гармоническому закону), наз. гармоническими колебаниями. Например, в случае механических гармонических колебаний:. В этих формулах ω – частота колебания, x_m – амплитуда колебания, φ₀ и φ₀’ – начальные фазы колебания. Приведенные формулы отличаются определением начальной фазы и при φ₀’ = φ₀+π/2 полностью совпадают.
Это простейший вид периодических колебаний. Конкретный вид функции (синус или косинус) зависит от способа выведения системы из положения равновесия. Если выведение происходит толчком (сообщается кинетическая энергия), то при t=0 смещение х=0, следовательно, удобнее пользоваться функцией sin, положив φ₀’=0; при отклонении от положения равновесия (сообщается потенциальная энергия) при t=0 смещение х=х_m, следовательно, удобнее пользоваться функцией cos и φ₀=0.
Выражение, стоящее под знаком cos или sin, наз. фазой колебания: . Фаза колебания измеряется в радианах и определяет значение смещения (колеблющейся величины) в данный момент времени.
Амплитуда колебания зависит только от начального отклонения (начальной энергии, сообщенной колебательной системе).

КВАЗИУПРУГАЯ СИЛА - направленная к центру О сила. модуль к-рой пропорционален расстоянию r от центра О до точки приложения силы (F=-cr), где с - постоянный коэф., численно равный силе, действующей на единице расстояния. К. с. является силой центральной и потенциальной с силовой ф-цией U = -0,5 cr ². Примерами К. с. служат силы упругости, возникающие при малых деформациях упругих тел (отсюда и сам термин "К. с."). Приближённо К. с. можно также считать касательную составляющую силы тяжести, действующей на матем. маятник при малых его отклонениях от вертикали. Для материальной точки, находящейся под действием К. с., центр О является положением её устойчивого равновесия. Выведенная из этого положения точка будет в зависимости от нач. условий или совершать около О прямолинейные гармонич. колебания, или описывать эллипс (в частности, окружность).

15. Сложение колебаний одинаковой частоты, происходящих вдоль одной прямой.

Сложение колебаний одного напpавления. Сложим два колебания одинаковой частоты, но pазличных фаз и амплитуд.

(4.40)
Пpи наложении колебаний дpуг на дpуга

Введем новые паpаметpы А и j согласно уpавнениям:

(4.42)
Система уpавнений (4.42) легко pешается.

(4.43)

(4.44)
Таким обpазом, для х окончательно получаем уpавнение

(4.45)
Итак, в pезультате сложения однонапpавленных колебаний одинаковой частоты получаем гаpмоническое (синусоидальное) колебание, амплитуда и фаза котоpого опpеделяется фоpмулами (4.43) и (4.44).