Понятие об устойчивом и неустойчивом равновесии

Если упругое тело после отклонения от равновесного положения не возвращается к исходному состоянию, то говорят, что произошла потеря устойчивости, а равновесие было неустойчивым.
Потерю устойчивости под действием центрально приложенной продольной сжимающей силы называют продольным изгибом.
На устойчивость равновесия влияет величина сжимающей силы.
Наибольшее значение сжимающей силы, при котором прямолинейная форма стержня сохраняет устойчивость, называют критической силой. Даже при небольшом превышении критического значения силы стержень недопустимо деформируется и разрушается.
Расчет на устойчивость
Расчет на устойчивость заключается в определении допускаемой сжимающей силы и в сравнении с ней силы действующей:

где F - действующая сжимающая сила;
[F] - допускаемая сжимающая сила, обеспечивает некоторый запас устойчивости;

1. Формула Эйлера для шарнирно опертого сжатого стержня.
2. Обобщенная формула Эйлера.

1. Пределы применимости формулы Эйлера. Формула Ясинского. Гипербола Эйлера и прямая Ясинского.

Формула Эйлера получена из интегрирования дифференциального уравнения упругой оси балки, т.е. предполагалось, что стержень работает в пределах упругих деформаций по закону Гука. Недаром в формуле Эйлера фигурирует модуль Юнга Е.

Следовательно, формулой Эйлера нельзя пользоваться для оценки устойчивости стержней, если критические напряжения, вычисленные по ней, получаются выше предела пропорциональности (где закон Гука не применим).

Итак, формула Эйлера применима при соблюдении условия

или , откуда

Здесь правая часть представляет наименьшее (предельное) значение гибкости стержня, при котором можно пользоваться формулой Эйлера и обозначается

(8.10)

Условие применимости формулы Эйлера тогда примет вид:

(8.11)

Для Ст.3 и .

Для Ст.5 и .

Для чугуна .

Для дерева .

При гибкости стержня, меньше предельной, критическое напряжение, определенное по формуле Эйлера, получается значительно выше .

Например, при (Ст.3) , т.е. величина оказывается значительно больше предела прочности.

Ошибочное использование формулы Эйлера для вычисления и проверки устойчивости при малых гибкостях, приводили иногда к серьезным катастрофам сооружений. Итак, решение Эйлера применимо на практике лишь для тонких и длинных стержней с большой гибкостью. Между тем на практике часто встречаются стержни с малой гибкостью.

Опыты показали, что если по Эйлеру , то действительные критические напряжения значительно ниже определенных по Эйлеру.

Важнейшим источником для установления действительных критических напряжений за пределом пропорциональности, т.е. при малых и средних гибкостях, явились результаты эксперимента.

Стержни, для расчета на устойчивость которых нельзя пользоваться формулой Эйлера, можно разбить на две большие группы: