double arrow

Определение напряжений в брусьях большой кривизны


Выведем формулы для определения нормальных напряжений в брусьях большой кривизны.

При выводе этих формул предполагается, что:

1) кривой брус является плоским (т.е. ось его представляет собой плоскую кривую);

2) брус симметричен относительно плоскости, в которой распо­ложена его ось, а внешние силы действуют в этой плоскости;

3) поперечные сечения бруса, плоские до его деформации, остаются плоскими и после деформации (гипотеза плоских сече­ний);

4) давление продольных волокон бруса друг на друга не влияет существенно на распределение напряжений в брусе, а потому его можно не учитывать.

При изгибе брусьев малой кривизны нормальные напряжения с достаточной степенью точности можно определять по формуле Навье для балок с прямой осью. Максимальные напряжения, подсчитанные по формуле Навье для бруса прямоугольного сечения с отношением , отличаются на 2% от напряжений, вычисленных по формулам для бруса большой кривизны; при - на 3,5%, при - на 7%.

Рассмотрим случай чистого изгиба бруса большой кривизны ( ) (рис.5). Предполагаем, что радиус нейтрального слоя неизвестен и не совпадает с радиусом R оси стержня.




Рис.5

При выводе формулы для определения нормальных напряжений в брусе большой кривизны исходят из тех же гипотез, что и при выводе формулы Навье, т. е пользуются гипотезой плоских сечений и гипотезой о том, что продольные волокна материала не давят одно на дру­гое. Выбираем направление осей сечения х и у, как показано на рис.6 (при этом ось х считается совпадающей с нейтральной линией, положение которой пока неизвестно). Направление у к центру кривизны принято за положительное.

Рис.6

Рассмотрим статическую сторону задачи и запишем условие равновесия применительно к элементу бруса (рис. 6, а), оставшемся после удаления отсеченных частей. Для нашего случая, когда в сечении действует один силовой фактор , будем иметь

; (4)

. (5)

В силу симметрии F

.

Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Относительное удли­нение произвольно выделенного элементарного участка АВ, находящегося на расстоянии у от нейтральной линии (рис. 6, б) и получившего в результате деформации удлинение , равно

, (6)

где – длина элемента до деформации.

Из рассмотрения физической стороны задачи, определяемой законом Гука

, (7)

условие (4) перепишем в виде

Так как

,

то

. (8)

Из (5) находим

(9)

Так как

,

или

, (10)

Можем представить (9) так:

.

Отсюда

, (11)

где — расстояние от нейтральной линии до центра тяжести (эксцентриситет); F - площадь поперечного сечения.

Подставив (11) в (7), найдем формулу для определения нормальных напряжений при изгибе

, (12)

. (13)

Здесь М — изгибающий момент в сечении; Sx — статический момент пло­щади сечения кривого бруса относительно нейтральной линии.



Из анализа (12) или (13) видно, что нормальные напряжения по высоте распределяются по гиперболическому закону (рис. 7, б).

Рис. 7

Абсолютные величины напряжений в крайних волокнах сечения бруса согласно (12) определяются по формулам

(14)

где R1 и R2 — соответственно радиусы кривизны внутренних и внеш­них волокон кривого бруса; h1 и h2 — расстояния от нейтральной ли­нии до этих волокон. Знак напряжения определяется по направле­нию изгибающего момента в сечении.

Формулы (12) - (14) могут быть использованы, если известна входящая в эти формулы величина или радиус нейтрального слоя поскольку

, (15)

где R — радиус слоя, в котором расположены центры тяжести сечения бруса. Радиус определим из уравнения (8).

Произведя замену переменных или , перепи­шем уравнение (8) в следующем виде:

.

или

.

Отсюда

. (16)

Так как для прямоугольного сечения (h - высота сечения; b - ширина сечения); , формула (16) может быть описана в виде

(17)

Воспользовавшись рядом

,

получим

.

В первом приближении

. (18)

Во втором приближении

. (19)

На основании (16) аналогичным путем можно получить приближение для в случае других форм поперечного сечения. Из (15) по известным могут быть определены величины .

  1. Понятия об устойчивых и неустойчивых формах равновесия систем. Устойчивость сжатых стержней и критическая сила.

В конструкциях и сооружениях большое применение находят детали, являющиеся относительно длинными и тонкими стержнями, у которых один или два размера поперечного сечения малы по сравнению с длиной стержня. Поведение таких стержней под действием осевой сжимающей нагрузки оказывается принципиально иным, чем при сжатии коротких стержней. Опыт показывает, что при достижении сжимающей силой F некоторой критической величины, равной Fкр, прямолинейная форма равновесия длинного стержня оказывается неустойчивой, и при превышении Fкр стержень начинает интенсивно искривляться (выпучиваться). При этом новым (моментным) равновесным состоянием упругого длинного стержня (при F > Fкр) становится некоторая новая уже криволинейная форма. Это явление носит название потери устойчивости.









Сейчас читают про: