Проектировочный расчет

При проектировочном расчете (подобрать сечение под заданную нагрузку) в расчетной формуле имеются две неизвестные величины – искомая площадь поперечного сечения A и неизвестный коэффициент (так как зависит от гибкости стержня, а значит и от неизвестной площади A). Поэтому при подборе сечения обычно приходится пользоваться методом последовательных приближений:

обычно в первой попытке принимают 1=0,5…0,6 и определяют площадь сечения в первом приближении

; (8.24)

по найденной площади A 1 подбирают сечение и вычисляют гибкость стержня в первом приближении 1. Зная , находят новое значение 1¢;

далее, используя найденный 1¢, проверяют условие устойчивости, и если max и [ у] значительно отличаются друг от друга (более чем на 5 %), следует повторить расчет, приняв во второй попытке

. (8.25)

Продольно-поперечный изгиб.

Рассмотрим нагружение прямого шарнирно закреплённого стержня продольной силой F и системой поперечных сил. Такой вид нагружения принято называть продольно- поперчным изгибом. Обозначим у(z) прогиб балки в сечении c абсциссой z. Воспользуемся дифференциальным уравнением упругой линии балки, в котором изгибающий момент можно рассматривать как сумму моментов поперечных сил и момента продольной силы F·y. Полный прогиб у складывается из прогиба у_п от поперечных сил и дополнительного прогиба у-у_п от осевой силы F.Полный прогиб у больше суммы прогибов, возникающих при раздельном действии поперечных и продольных сил, так как при действии только силы F прогиб равен нулю. Следовательно, в данном случае принцип независимости действия сил не применим.

(8.5).

Разделим левую и правую части выражения (9.5) на EI:

(8.6)

Так как , то подставив это значение в (8.6), получим

или

(8.7).

Для упрощения решения предполагается, что дополнительный прогиб по длине балки изменяется по синусоиде, т.е.

(8.8).

Это допущение позволяет получить точные результаты при действии на балку поперечной нагрузки, направленной в одну сторону.

С учётом (8.8) выражение (8.7) примет вид

: .

После двухкратного дифференцирования этого уравнения получим

или .

Из этого равенства на ходим

Выражение =F_э совпадает в формулой Эйлера, тогда

у= (8.9)

Необходимо отличать эйлерову силу F_э от критической силы F_кр, вычисляемой по формуле Эйлера для стержней большой гибкости (). Эйлерова сила F_э не зависит от гибкости стержня.

Из формулы (8.9), что отношение является критерием жесткости при продольно поперечном изгибе. Если → 0, жёсткость балки велика и . При → 1 жёсткость мала, балка очень гибкая и у→ ∞, т.е., прогибы многократно возрастают по сравнению с .

Формула (8.9) достаточно точная при F≤F_кр_.

Расчёт на прочность при продольно – поперечном изгибе

Условие прочности при поперечном изгибе получено в предположении, что внутренние усилия изменяются пропорционально изменению внешних сил. Как установлено ранее, при продольно-поперечном изгибе эта зависимость нелинейная.