Первая интерполяционная формула Ньютона

Будем искать интерполяционный полином в виде:

. (5.15)

Значения коэффициентов найдем из условия совпадения значений исходной функции и многочлена в узлах. Полагая , из (5.15) найдем , откуда . Далее последовательно придавая х значения и , получаем:

откуда ;

,

т. е.

,

или

,

откуда

.

Затем, проведя аналогичные выкладки, можно получить

.

В общем случае выражение для будет иметь вид

. (5.16)

Подставляя (5.16) в выражение для многочлена (5.15), получаем

(5.17)

Функция пакета MathCAD, возвращающая значения первого интерполяционного полинома Ньютона, представлена на рис. 5.4.

Рис. 5.4. Функция, возвращающая значения первого интерполяционного полинома Ньютона. Аргументы функции: t - координата точки; x - вектор, содержащий координаты узловых точек; y - вектор, содержащий значения интерполируемой функции в узловых точках

При ручных вычислениях формула (5.17) применяется несколько в ином виде. Положим , т.е. , тогда:

,

,

…

.

Подставляя данные выражения в (5.17), окончательно получаем:

.

. (5.18)

Формула (5.18) называется первой интерполяционной формулой Ньютона. Данная формула применяется для интегрирования в начале отрезка, когда t мало по абсолютной величине.