Пример расчета

Поясним расчет на примере САР, содержащей звенья на ОУ
(см. рис. 7.1), со следующей схемой:

7.1. Определяем передаточные функции для звеньев (из рис. 7.1).

Звено № 1 - сумматор.

Передаточная функция:

Звено № 2

Передаточная функция:

;

где

По виду передаточной функции определяем, что звено безынерционное.

Звено № 3

Передаточная функция:

;

где

По табл. 7.2 определяем, что звено идеальное интегрирующее.

Для остальных звеньев приводим окончательные результаты.

Звено № 4:

где k ₄ = –0,5 – идеальное дифференцирующее звено.

Звено № 5

где k ₅ = –0,1, T ₅ = 0,01 – инерционное дифференцирующее.

Звено № 6

где k ₆ = –1, – инерционное.

7.2. Для составления структурной схемы определяем вид обратной связи (отрицательная или положительная). Так как в цепи обратной связи 1-1-2-5-2 и 1-2-4 нечетное количество блоков с инвертирующими операционными усилителями (пять блоков и три блока соответственно), то это определяет отрицательные обратные связи (если бы было четное количество операционных усилителей, обратные связи были бы положительными). Тогда схему с учетом определения обратных связей, как отрицательных обратных связей, можно представить в виде

В дальнейшем расчете теперь можно использовать значения для передаточных функций всех звеньев входящих в схему по модулю (т.е. не учитывать знак минус для передаточных функций каждого звена).

Рассчитываем передаточную функцию W ₂₄(p) для звеньев 1_2_4, соединенных с отрицательной обратной связью, по выражению (7.4):

где

Получаем следующую расчетную структурную схему:

Рассчитываем передаточную функцию W ₂₄₅(p) для последовательно соединенных звеньев W ₂₄(p) и 5 по выражению (7.2).

где

Получаем следующую расчетную структурную схему:

Рассчитываем общую передаточную функцию W ₀(p) для соединения с отрицательной обратной связью по выражению (7.4):

.

Для получения окончательного вида находим корни квадратного уравнения в знаменателе:

Окончательный вид общей передаточной функции будет таким:

где

Полученное выражение для передаточной функции W ₀(p) характеризует собой инерционное дифференцирующее звено.

Рассчитываем комплексную передаточную функцию и находим действительную и мнимую части выражения

К комплексной передаточной функции переходим формальной заменой

Для устранения комплексного значения i в знаменателе умножаем числитель и знаменатель на сопряженные комплексные выражения и делим действительную и мнимые части полученного выражения:

После преобразований получим

Используя полученные выражения для , рассчитываем остальные частотные характеристики.

АФХ (годограф) строится на комплексной плоскости в координатах и для различных значений циклической частоты .

Логарифмическая частотная характеристика (ЛЧХ) рассчитывается по выражению и строится в логарифмических координатах по оси частот по декадам, т.е. при десятикратном изменении частоты

, дБ.

Логарифмическая частотная характеристика (ЛАЧХ) строится на одном графике (совместно) с логарифмической частотной характеристикой . Для ее построения понадобятся частоты сопряжения , которые определяются из скобок выражения для общей передаточной функции W (p):

и .

Переходная характеристика реакция системы на единичное ступенчатое воздействие и ее изображение по Лапласу рассчитываются следующим образом:

Корни характеристического выражения знаменателя:

.

Используем для перехода от изображения к оригиналу для расчета обратное преобразование Лапласа – разложение Хевисайда:

Из графика h (t) определяем на уровне 5% от максимального
значения h = 0,00075 время регулирования Tр, которое примерно равно 17 с.

Построение логарифмической асимптотической частотной характеристики (ЛАЧХ) делается по виду передаточной функции и изменению текущего угла наклона ЛАЧХ в точках сопряжения. Передаточную функцию нужно перед этим привести к одному из трех возможных видов:

; (7.11)

; (7.12)

. (7.13)

Количество скобок вида может быть любым (от 0).

При этом начальный угловой коэффициент наклона определяется так:

– для передаточной функции W (p) вида (7.11) угловой коэффициент наклона равен 0 дБ/дек (децибел на декаду), т.е. ЛАЧХ проходит горизонтально при очень низких частотах Начальное положение ЛАЧХ равно , K – из выражения (7.11);

– для вида (7.12) угловой коэффициент наклона равен 20 дБ/дек, т.е. ЛАЧХ вначале при очень низких частотах возрастает. Начальное положение ЛАЧХ неизвестно, т.е. будет построен общий характер изменения ЛАЧХ. В реальном случае кривая будет смещена по вертикали вниз или вверх. Для определения точного начального положения нужен или расчет, или ЛАЧХ проводят, приближая к раcсчитанной ЛАХ;

– для вида (7.13) угловой коэффициент наклона равен – 20 дБ/дек, т.е. ЛАЧХ вначале при очень низких частотах уменьшается. Начальное положение ЛАЧХ как и в случае (7.12) неизвестно, т.е. будет построен лишь общий характер изменения ЛАЧХ. В реальном случае кривая будет смещена по вертикали вниз или вверх. Для определения точного начального положения нужен или расчет, или ЛАЧХ проводят, приближая к рассчитанной ЛАХ.

Во всех случаях дальнейшее изменение угла наклона происходит в точках сопряжениях. Они определяются для каждой из скобок вида :

. (7.14)

В каждой из таких частот сопряжения происходит изменение текущего угла наклона на дБ/дек, причем если скобка из которой определена частота сопряжения находится в числителе передаточной функции W(p) (7.11)–(7.13), то изменение текущего угла наклона ЛАЧХ происходит на +20 дб/дек, а если в знаменателе – на –20 дБ/дек.

В нашем примере находим все частоты сопряжения и расставляем их на оси частот (рис. 7.5):

– из знаменателя,

– из знаменателя.

Так как передаточная функция относится к виду (7.12), то ее начальный угловой коэффициент наклона равен +20 дБ/дек. При частоте он изменится на –20 дб/дек, так как найден для скобки из знаменателя (показано стрелкой вниз справа от ), и станет равным +20 – 20 = 0 (дБ/дек). В точке он также изменится на
–20 дб/дек и станет равным 020 = –20 (дБ/дек). Для построение углов наклона строим вспомогательный прямоугольник со сторонами 1 декада и 20 дБ и проводим диагонали с угловыми коэффициентами наклона +20 и –20 дБ/дек. Параллельно этим диагоналям и проводим прямые на ЛАЧХ. Вначале с угловым коэффициентом наклона +20 дБ/дек до пересечения со значением частоты , далее горизонтально с угловым коэффициентом 0 дБ/дек до пересечения с частотой , после чего с наклоном –20 дБ/дек. Строим ЛАЧХ на графике совместно с ЛАХ (рис. 7.5).

При построении приближаем, перемещая по вертикали, ЛАЧХ
к ЛАХ (на полученном рисунке кривая Lа (ЛАЧХ) незначительно смещена вверх от кривой L (ЛАХ) для удобства иллюстрации построения).

k h(t

Проверяем аналитические расчеты, моделируя САР в Workbench. Для этого составляем общую электрическую принципиальную схему САР и набираем ее в Workbench. Подключаем body plotter для частотного анализа и генератор прямоугольных колебания для получения реакции на прямоугольное ступенчатое воздействие, т.е. для получения формы переходной характеристики. Для примера участок схемы одного из вариантов выглядит так (рис. 7.6).

Рис. 7.6. Исследование САР в Workbench

Контрольные вопросы и задания

7.1. Что такое преобразования Лапласа? Приведите выражение для прямого и обратного преобразования Лапласа.

7.2. Поясните графически правила построения логарифмической асимптотической частотной характеристики (ЛАЧХ) для своего задания.

7.3. Приведите графики результатов анализа САР в Workbench и копии экранов выполнения своего задания.

Вопросы для самопроверки

7.1. Какие условия применимости обратного преобразования Лапласа в форме разложения Хевисайда?

7.2. Какие еще программные средства для исследования САР Вам известны?

7.3. Какая из выполненных лабораторных работ является наиболее интересной?