Конические сечения. Линии, которые получаются при пересечении поверхности конуса второго порядка с плоскостью, называются коническими сечениями

Линии, которые получаются при пересечении поверхности конуса второго порядка с плоскостью, называются коническими сечениями.

К этим линиям относятся следующие: эллипс, парабола, гипербола, окружность, две прямые.

Рассмотрим, при каких условиях получается то или иное сечение на примере пересечения конуса второго порядка проецирующей плоскостью (рисунок 1.3.50).

Рисунок 1.3.50 – Конические сечения

Если секущая плоскость S¹ (S¹₂) пересекает все образующие конуса, то в сечении получается эллипс.

Если секущая плоскость S (S₂) перпендикулярна к оси вращения конуса, то в сечении получается окружность.

Если секущая плоскость S² (S²₂) параллельна одной образующей конуса, то в сечении будет парабола.

Если секущая плоскость S³ (S³₂) параллельна двум образующим конуса, то получим гиперболу.

Гипербола может быть получена и в случае расположения секущей плоскости S⁴ (S⁴₂) параллельно оси конуса. В этом случае плоскость параллельна двум образующим, проекции которых совпадают с проекцией оси.

Две прямые в сечении получаются, если секущая плоскость S⁵ (S⁵₂) проходит через вершину конуса.

Пример построения сечения конуса по параболе показан на рисунке 2.3.51. При построении сначала определялись опорные (экстремальные) точки 1, 2, и 2¢. Затем определялись промежуточные точки с помощью горизонтальных плоскостей-посредников Г (Г₂). Их построение можно видеть на примере точек 3 и 3¢.

Рисунок 1.3.51 – Сечение конуса по параболе