2015-01-30
3067
1) Период затухающих колебаний:
Т = 
(58)
При δ << ωo колебания не отличаются от гармонческих: Т = 2π / ωo.
2) Амплитуда затухающих колебаний выражается формулой (119).
3) Декремент затухания, равный отношению двух последовательных амплитуд колебаний А (t) и А (t+Т), характеризует быстроту уменьшения амплитуды за период:
= ed Т (59)
4) Логарифмический декремент затухания - натуральныйлогарифм отношения амплитуд двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени, отличающимся на период
q = ln = ln edТ =dT (60)
Логарифмический декремент затухания - постоянная для данной колебательной системы величина.
5) Временем релаксации называется промежуток времени (t) в течение которого амплитуда затухающих колебаний уменьшается в е раз:
ed τ = е, δτ = 1,
t = 1 /d, (61)
Из сравнения выражений (60) и (61) получим:
q = 
= 
, (62)
где Ne — число колебаний, совершаемых за время релаксации.
Если за время t система совершает Ν колебаний, то t = Ν.Τ и уравнение затухающих колебаний можно представить в виде:
|
|
|
S = A0 e-d N T cos (w t+j) = A0 e-q N cos (w t+j).
6) Добротностью колебательной системы (Q) называется величина, характеризующая потерю энергии в системе за период колебаний:
Q = 2 p 
, (63)
где W - полная энергия системы, ΔW - энергия, рассеянная за период. Чем меньше энергии рассеивается, тем больше добротность системы. Расчеты показывают, что
Q = 
= pNe = 
= 
. (64)
Таким образом, добротность обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания. Из формулы (64) следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne, совершаемых системой за время релаксации.
7) Потенциальную энергию системы в момент t, можно выразить через потенциальную энергию W 0 при наибольшем отклонении:
W = 
= 
kAo2 e-2qN = W0 e-2qN. (65)
Обычно условно считают, что колебания практически прекратились, если их энергия уменьшилась в 100 раз (амплитуда уменьшилась в 10 раз). Отсюда можно получить выражение для расчета числа колебаний, совершенных системой:
= e2qN = 100, ln100 = 2 qN;
N = 
= 
. (66)
