Разложение функции, заданной на части промежутка

До сих пор мы говорили о разложении в тригонометрический ряд функции, заданной на отрезке . Рассмотрим теперь случай, когда задана лишь на части этого отрезка, где (рис. 4) Будем предполагать дифференцируемой на этом отрезке, и поставим вопрос о построении такого тригонометрического ряда

, (3)

в который разлагалась бы функция .

Рис. 4

Эту задачу можно решить так: выберем совсем произвольную функцию , заданную и дифференцируемую на отрезке и определим на всём отрезке «составную» функцию , положив

График изображён на рис. 5.

- а

Рис. 5

Функция разлагается в свой ряд Фурье на всём отрезке , за исключением может быть трёх точек и . В этих точках сумма ряда будет соответственно равна

Поскольку, при «составная функция совпадает с , то для этих х будет

Если подбирать с условием , то окажется и равенство будет верно и при . Нако- нец, условие обеспечит справедливость равенства и при

Таким образом, поставленная задача имеет решение. Однако это решение не единственно: ведь функцию мы могли выбирать бесконечным множеством способов, а выбор этой функции определяет коэффициенты ряда.

Например,

Поэтому (в отличие от функции, заданной на всём отрезке ) функция, заданная на более коротком отрезке, допускает бесконечное множество представлений вида (3). Здесь не имеет место теорема о единственности.

Всё сказанное о тносится, в частности, и к отрезку . Но тут появляется некое новое обстоятельство. Именно, если мы захотим, взять такой, чтобы «составная функция» оказалась чётной (рис. 9).

Рис. 6

Это приводит к разложению

, (4)

в котором

. (5)

Нетрудно видеть, что формула (4) верна на всём отрезке .

С другой стороны, мы можем выбрать и так, чтобы функция оказалась нечётной (рис. 7). Это приведёт нас к разложению

, (6)

в котором

. (7)

Рис. 7

Формула (6) верна при . Чтобы она была верна при , необходимо, чтобы было , так как правая часть равенства (6) обращается в ноль при . Точно также для справедливости формулы (6) в точке необходимо, чтобы было .

Таким образом, имеет место.

ТЕОРЕМА 1. Функцию , заданную и дифференцируе - мую на отрезке можно бесконечным множеством спо- собов разложить в тригонометрический ряд. В частности, её можно разложить по косинусам в ряд (4), коэффициенты которого определяются формулами (5), или в ряд по синусам (6) с коэффициентами (7).

ПРИМЕРЫ. 1). Пусть . Разложить эту функцию в ряд по косинусам

Рис. 8

Здесь

Отсюда, при будет

(8)

В частности, при мы снова находим

Сумма ряда (8) является - периодической и чётной функцией. Её график изображён на рис. 8.

2). Пусть функция , заданная на , разложена в тригонометрический ряд по синусам. Найти сумму ряда в точках

Решение. а) Так как то

Так как нечётная, то

с) ,

так как при все члены ряда обращаются в ноль

Сдвиг основного промежутка.

Всю теорию рядов Фурье мы излагали для функций, заданных на отрезке Однако вместо этого отрезка можно было бы положить в основу любой другой отрезок длины . Дело в том, что это период всех функций сис- темы:

(9) и справедлива

ТЕОРЕМА 2. Если функция имеет период равный то интеграл не зависит от числа а.

В самом деле,

(10)

В последнем интеграле справа можно сделать замену , дающую

Таким образом, первый и третий интегралы правой части (10) взаимно уничтожаются и

чем и доказана теорема.

В частности, из неё следует, что 1) любые две функции системы (9) взаимно ортогональны на всяком отрезке длины и 2) при всяком будет

Следовательно, всю теорию можно перенести с отрезка на любой отрезок Например, верна:

ТЕОРЕМА 3. Если функция дифференцируема на от- резке то всюду на открытом промежутке будет

(11)

где

Ряд (11) сходится и в точках , где его сум -ма равна

ПРИМЕР. Разложить в ряд Фурье функцию , рассматриваемую на отрезке

Здесь

Следовательно, при будет

. (12)

В частности, при получаем уже знакомое равенство

В точках сумма ряда (12) равна .

Нетрудно понять, что

§ 4. РЯД ФУРЬЕ ДЛЯ ФУНКЦИИ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ

ПЕРИОДОМ.

Мы видели, что ряды вида

(1)

являются хорошим аналитическим аппаратом для представ- ления функций, заданных на промежутке длины .

Рассмотрим теперь функции заданные на отрезке длины . Пусть для определённости речь идёт о функции заданной и дифференцируемой на отрезке По- ложим

Тогда будет заданной и дифференцируемой уже на отрезке Значит, к применима теория, изложен -ная выше, и потому при будет

Положим в этом равенстве .

Тогда для получаем равенство

. (2)

В точках сумма ряда равна

Остановимся на коэффициентах ряда (2). Например,

Подстановка даёт

Аналогично,

Что касается функций, заданных и дифференцируемых на отрезке то они допускают бесчисленное множество разложений вида (2). В частности, их можно разлагать по косинусам и по синусам. Последнее разложение имеет вид