2015-01-30
633
Найдем положение центра тяжести фигуры по формулам (5.15). Разобьем фигуру на три простые: треугольник I, прямоугольник II и квадрант круга Ш. Площадь всей фигуры
Для определения статических моментов выберем вспомогательные оси 
, проходящие через центр тяжести прямоугольника II (рис. 5.20). Статический момент каждой фигуры равен площади фигуры, умноженной на координату центра тяжести этой фигуры в системе координат 
. Суммарные статические моменты
Координаты центра тяжести
отложены на рис. 5.20.
Рис. 5.20. К определению моментов инерции
несимметричной фигуры
|
Проведем через центр тяжести центральные оси 
(см. рис. 5.20) и найдем моменты инерции относительно этих осей, как сумму моментов инерций простых фигур, составляющих заданную фигуру. Для определения моментов инерции простых фигур I, II и Ш используем формулы (5.16)–(5.18). Моменты инерции относительно собственных осей 
прямоугольника, треугольника и квадранта круга вычисляем по формулам (5.26), (5.28) и (5.29).
Теперь найдем положение главных осей инерции. Угол, на который надо повернуть ось 
, чтобы она стала главной осью, определяем по формуле (5.23):
;
; 
.
В соответствии с правилом знаков откладываем отрицательный угол 
по часовой стрелке и проводим главные центральные оси инерции 
(см. рис. 5.20). Вычислим моменты инерции относительно этих осей по формуле (5.24):
; 
.
Для проверки вычислений удобно использовать следующее свойство: сумма моментов инерций относительно двух любых пар ортогональных осей есть величина постоянная. Тогда должно быть
.
В нашем примере 
.
Чтобы выяснить, какой момент инерции – максимальный или минимальный – соответствует оси 
, исследуем знак второй производной функции 
по (5.25).
.
Положительный знак второй производной означает, что оси соответствует минимальное значение момента инерции, т. е.
Найдем радиусы инерции относительно главных центральных осей по (5.10) и построим эллипс инерции.
Эллипс инерции показан на рис. 5.20. Видно, что эллипс вытянут в том направлении, в котором вытянута фигура.
