2015-01-30
505
………………………………………..
|
Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей, т.е.
.
Аналогичное утверждение справедливо для любого числа независимых событий.
Пример. Два стрелка одновременно выстреливают в мишень. Вероятность попадания для первого стрелка равна 0,6, для второго – 0,8. Найти вероятность того, что в мишени будет:
а) одна пробоина;
б) хотя бы одна пробоина.
Решение. а) Прежде всего, укажем, когда может наступать интересующее нас событие, перебирая все возможные варианты.
В мишени будет одна пробоина
тогда и только тогда, когда
первый стрелок попал и второй стрелок промахнулся
или
первый стрелок промахнулся и второй стрелок попал.
Пусть событие А – в мишени будет одна пробоина, событие 
– первый стрелок попал, событие 
– второй стрелок попал. Тогда 
– первый стрелок промахнулся,
– второй стрелок промахнулся. “Тогда и только тогда, когда” соответствует отношению равенства событий. Соединительный союз “или” соответствует операции сложения событий. Соединительный союз “и” соответствует умножению событий. Тогда фраза русского языка, в которой мы перечислили все возможности для наступления события А, равносильна следующему символическому равенству
Откуда следует равенство вероятностей
Так как события 
и 
несовместны, то, применяя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, приходим к равенству
События , и , попарно независимы, поэтому, применяя теорему умножения вероятностей для независимых событий, получаем
По условию, 
и 
Тогда, по свойству взаимно противоположных событий (см. следствие из теоремы сложения вероятностей для несовместных событий, 
), 
и 
Окончательно имеем
б) Пусть 
– число попаданий в мишень, тогда искомой является вероятность 
(заметим, что слова “хотя бы один”, “не менее чем один”, “по-крайней мере один” являются синонимами). Событие 
равносильно тому, что число попаданий в мишень будет равно 1 или 2, т.е.
Тогда, учитывая несовместность событий 
и 
, получаем
(см. п. а) данного примера). Событие (два попадания в мишень) наступает тогда и только тогда, когда первый стрелок попадет в мишень и второй стрелок попадет, т.е.
.
Поэтому
(см. теорему умножения вероятностей для независимых событий). Окончательно имеем
Отметим, что эта задача допускает и другое решение. Так как события и 
взаимно противоположны, то
.
Но 
Следовательно
Пример. В коробке лежат4 белых шара и 6 красных. Наудачу, один за другим из коробки извлекается 2 шара. Найти вероятность того, что среди них будет:
а) один красный шар;
б) менее 2-х красных шаров.
Решение. а) Пусть событие А – среди двух извлеченных шаров – ровно один красный. Это событие наступает тогда и только тогда, когда первый из извлеченных шаров – красный, а второй – белый или первый шар – белый, а второй – красный. Напомним, что соединительный союз “или” соответствует сложению событий, союзы “и”, “а” соответствуют умножению событий. Тогда описание всех возможностей наступления события А равносильно следующему формальному равенству
,
где 
(
) – первый (второй) шар – красный, 
(
) – первый (второй) шар – белый. События 
и 
– несовместны, поэтому, используя теорему сложения вероятностей для несовместных событий, получаем
.
Применяя теперь теорему умножения вероятностей, приходим к равенству
.
Для вычисления вероятностей из правой части последнего равенства используем классическое определение вероятности. Тогда
б) Пусть m – число красных шаров среди двух извлеченных. Тогда искомой является вероятность 
Очевидно, что 
, и 
(см. п. а) данного примера). Вместе с тем, событие – среди извлеченных шаров нет красных – равносильно тому, что первый шар окажется белым и второй – также белым, т.е. 
, поэтому
Окончательно имеем
Заметим, что вероятность 
может быть также найдена по-другому. События 
и взаимно противоположны, поэтому
Но
Тогда
Домашнее задание (здесь и далее номера задач указаны по учебнику Н.Ш. Кремера “Теория вероятностей и математическая статистика”): 1.54, 1.58, 1.60, 1.61, 1.64, 1.69.
