Тема 3. Формулы полной вероятности и

БАЙЕСА

Пример 3.1. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые ЧИПы от двух поставщиков. Первый поставляет 65% ЧИПов, второй 35%. Известно, что качество поставляемых ЧИПов разное. Основываясь на предыдущих данных о рейтингах качества, составлена следующая таблица:

Поставщик	% качественной продукции	% брака
Поставщик 1
Поставщик 2

Предприятие осуществляет гарантийный ремонт компьютеров. Имея данные о числе компьютеров, поступающих на гарантийный ремонт в связи с неисправностью ЧИПов, переоцените вероятности того, что возвращенный для ремонта компьютер, укомплектован ЧИПом от поставщика 1, поставщика 2.

Решение задач с использованием формул полной вероятности и Байеса удобнее оформлять в виде таблицы следующего вида:

Гипотезы	Априорные вероятности	Условные вероятности	Совместные вероятности	Апостериорные вероятности P(Hi /A)

Шаг 1. В первой колонке перечисляем события, которые задают априорную информацию в контексте решаемой проблемы.

Соб. Н₁ - ЧИП от первого поставщика;

Соб. Н₂ - ЧИП от второго поставщика.

Это - гипотезы и они образуют полную группу независимых и несовместных событий.

Во второй колонке записываем вероятности этих событий:

Р(Н₁) = 0,65, а Р(Н₂) = 0,35

В третьей колонке определим условные вероятности события А - «ЧИП бракованный» для каждой из гипотез.

Шаг 2. В колонке 4 находим вероятности для событий «ЧИП от первого поставщика и он бракованный» и «ЧИП от второго поставщика и он бракованный». Они определяются по правилу умножения вероятностей путем перемножения значений колонок 2 и 3. Поскольку сформулированные события являются результатом пересечения двух событий: А и Hi, то их называют совместными вероятностями, то есть

Шаг 3. Суммируем вероятности в колонке 4 для того, чтобы найти вероятность события А. В нашем примере 0,0130 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от поставщика1, 0,0175 - вероятность поставки некачественного ЧИПа от поставщика 2. Поскольку, как мы уже сказали выше, ЧИПы поступают только от двух поставщиков, то сумма вероятностей 0,0130 и 0,0175 показывает, что 0,0305 есть вероятность бракованного ЧИПа в общей поставке, по формуле (3.1):

= 0,0130 + 0,0175 = 0,0305

Шаг 4. В колонке 5 вычисляем апостериорные вероятности, используя формулу (3.2)

Заметим, что совместные вероятности находятся в строках колонки 4, а вероятность события А как сумма колонки 4.

Гипотезы	Априорные вероятности	Условные вероятности	Совместные вероятности	Апостериорные вероятности
ЧИП от 1-го поставщика ЧИП от 2-го поставщика	0,65 0,35	0,02 0,05	0,0130 0,0175	0,426 0,574
S		-	Р(А) = 0,305

Пример 3.2. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году равна 0,75, если экономика страны будет на подъёме; и эта же вероятность равна 0,30, если экономика страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность экономического подъёма в будущем году равна 0,80. Используя предположения экономиста, оцените вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году?

Решение. Определим события:

А - “акции компании поднимутся в цене в будущем году”.

Событие А - “акции компании поднимутся в цене в будущем году” - может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н₁ - экономика страны будет на подъёме и

Н₂ - экономика страны не будет успешно развиваться.

По условию известны вероятности гипотез:

P(H₁) = 0,8; P(H₂) = 0,2

и условные вероятности события А:

P(A/H₁) = 0,75; P(A/H₂) = 0,3.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А - это (или Н₁А или Н₂А). События Н₁А и Н₂А - несовместные попарно, так как события Н₁ и Н₂ - несовместны.

События Н₁ и А, Н₂ и А - зависимые.

Вышеизложенное позволяет применить для определения искомой вероятности события А формулу полной вероятности:

P(A)=P(H₁) × P(A/H₁) + P(H₂) × P(A/H₂) = 0,8 × 0,75 + 0,2 × 0,3 = 0,66.

Оформим решение в рабочей таблице:

Гипотезы Hi	P(Hi)	P(A/Hi)	P(Hi)· P(A/Hi)
H1 - “подъем экономики”	0,80	0,75	0,60
H2- “спад экономики”	0,20	0,30	0,06
S	1,00	-	0,66

Ответ. Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году,

составляет 0,66.

Пример 3.3. Экономист полагает, что в течение периода активного экономического роста американский доллар будет расти в цене с вероятностью 0,7, в период умеренного экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,4 и при низких темпах экономического роста доллар подорожает с вероятностью 0,2. В течение любого периода времени вероятность активного экономического роста 0,3, умеренного экономического роста 0,5 и низкого роста - 0,2. Предположим, что доллар дорожает в течение текущего периода. Чему равна вероятность того, что анализируемый период совпал с периодом активного экономического роста?

Решение. Определим события:

А - “доллар дорожает”. Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н₁ - “активный экономический рост”;

Н₂ - “умеренный экономический рост”;

Н₃ - “низкий экономический рост”.

По условию известны доопытные (априорные) вероятности гипотез и условные вероятности события А:

Р(Н₁) = 0,3; Р(Н₂) = 0,5; Р(Н₃) = 0,2;

Р(А/Н₁) = 0,7; Р(А/Н₂) = 0,4 и Р(А/Н₃) = 0,2.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Событие А - это (или Н₁ × А или Н₂ × А или Н₃ × А). События Н₁ × А, Н₂ × А и Н₃ × А - несовместные попарно, так как события Н₁, Н₂ и Н₃ - несовместны.

События Н₁ и А, Н₂ и А, Н₃ и А - зависимые.

По условию требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность первой гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает (событие А уже произошло), то есть Р(Н₁/А) -?

Используя формулу Байеса (3.2) и подставляя заданные значения вероятностей, имеем:

Мы можем получить тот же результат при помощи таблицы:

Гипотезы Hi	Априорные вероятности P(Hi)	Условные вероятности P(A/Hi)	Совместные вероятности P(A Hi)	Апостериорные вероятности P(Hi/A)
H1	0,30	0,70	0,21	0,21 / 0,45 = 0,467
H2	0,50	0,40	0,20	0,20 / 0,45 = 0,444
H3	0,20	0,20	0,04	0,04 / 0,45 = 0,089
S	1,00	-	0,45

Ответ. Вероятность активного экономического роста, при условии, что доллар дорожает, составляет 0,467.

Для более наглядного восприятия решения нашей задачи мы можем также построить дерево решений:

		Совместные
Априорные	Условные	вероятности
вероятности	вероятности	(как произведение)
	P(A/H1) = 0,7	P(H1A) = 0,3× 0,7 = 0,21
Р(Н1) = 0,3
	P( /H1) = 0,3	P(H1 ) = 0,3× 0,3 = 0,09
Р(Н2) = 0,5	P(A/H2) = 0,4	P(H2A) = 0,5× 0,4 = 0,20
	P( /H2) = 0,6	P(H2 ) = 0,5× 0,6 = 0,30
	P(A/H3) = 0,2	P(H3A) = 0,2 × 0,2 = 0,04
Р(Н3) = 0,2
	P( /H3) = 0,8	P(H3 ) = 0,2× 0,8 = 0,16

Ответ. Вероятность активного экономического роста при условии, что доллар подорожает,

P(H_i/A) =0,467

Пример 3.4. В каждой из двух урн содержится 6 черных и 4 белых шара. Из первой урны во вторую наудачу переложен один шар.

1. Найти вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, окажется черным?

2. Предположим, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, оказался черным. Какова тогда вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар?

Решение. Определим события:

А - “шар, извлеченный из второй урны - черный”. Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Н₁ - “из 1-й урны во 2-ю урну переложили черный шар” и

Н₂ - “из 1-й урны во 2-ю урну переложили белый шар”.

Используя классическое определение вероятностей, определим вероятности гипотез:

P(H₁) = 6/10; P(H₂) = 4/10.

и условные вероятности события А.

После перекладывания во второй урне окажется 11 шаров. Если из первой урны во вторую переложили черный шар, то во второй урне окажется 7 черных и 4 белых шаров.

Тогда P(A/H₁) = 7/11.

Если из первой урны во вторую переложили белый шар, то во второй урне окажется 6 черных и 5 белых шаров.

Тогда P(A/H₂) = 6/11.

Гипотезы образуют полную группу, сумма их вероятностей равна 1. Рассмотрим событие А - это (или Н₁А или Н₂А). События Н₁А и Н₂А - несовместные попарно, так как события Н₁ и Н₂ - несовместны.

События Н₁ и А, Н₂ и А - зависимые.

1. Вышеизложенное позволяет применить для определения вероятности события А и ответа на первый вопрос формулу полной вероятности (3.1):

P(A)=P(H₁)P(A/H₁) + P(H₂)P(A/H₂)=6/10 7/11 + 4/106/11 = 0,6.

Это же решение можно оформить в рабочей таблице:

Гипотезы Hi	P(Hi)	P(A/Hi)	P(Hi) P(A/Hi)
H1 - “из 1-й урны во 2-ю урну переложили черный шар”	6/10	7/11	42/110
H2- “из 1-й урны во 2-ю урну переложили белый шар”	4/10	6/11	24/110
S	1,00	-	0,6

Ответ. Вероятность того, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, окажется черным составляет 0,6.

2. Во второй части задачи предполагается, что событие А уже произошло, т.е. шар, извлеченный из второй урны, оказался черным. Требуется найти уточненную (послеопытную, апостериорную) вероятность второй гипотезы, т.е. необходимо найти вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, оказался черным.

Р(Н₂/А) -?

Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой Байеса (3.2):

Мы можем получить тот же результат при помощи таблицы:

Гипотезы Hi	Априорные вероятности P(Hi)	Условные вероятности P(A/Hi)	Совместные вероятности P(A Hi)	Апостериорные вероятности P(Hi/A)
H1	6/10	7/11	42/110=0,3818	0,3818/0,6 = 0,6364
H2	4/10	6/11	24/110=0,2182	0,2182/0,6 = 0,3636
S	1,00	-	0,6

Ответ. Вероятность того, что из первой урны во вторую был переложен белый шар при условии, что шар, извлеченный из второй урны после перекладывания, оказался черным, составляет 0,3636.