Примеры решения задач. 1.2.1 Задача 1. Математический маятник массой 20 г колеблется с амплитудой 5см

1.2.1 Задача 1. Математический маятник массой 20 г колеблется с амплитудой 5см. Максимальная скорость маятника равна 15,7 см/с. Определить линейную частоту, период и циклическую частоту колебаний, длину нити, полную энергию и максимальное ускорение маятника.

Дано: m = 20г = 2×10-2кг A = 5см = 0,05м u max=15,7см/с=15,7×10-2м/с	Решение: Уравнение гармонических колебаний маятника имеет вид: х=А sin (wt+j0), где х - смещение маятника от положения равновесия; А - амплитуда колебаний; w -
n-? T -? w -? l -? W -? a max-?

циклическая частота; j₀ - начальная фаза колебаний.

Скорость колебаний маятника

u = u _max при cos (wt + j ₀) = 1, следовательно:

u _max = Aw,

откуда

(1.1)

[ w ] =

Подставим в формулу (1.1) числовые значения из условия задачи и рассчитаем w:

w = 15,7×10^-2/(5×10^-2) = 3,14 с^-1.

Найдем период Т и линейную частоту n:

; (1.2)

с; с^-1=0,5Гц.

Длину маятника найдем из формулы периода колебаний математического

маятника

,

следовательно

, (1.3)

где g-ускорение свободного падения.

Проверим единицы в формуле (1.3) и произведём расчеты:

[ l ]=c²×м/c²=м

м

Полная энергия маятника определяется по формуле:

(1.4)

[ W ] = кг×м²×(с^-1)² = Дж

Произведём расчеты по формуле (1.4):

W =2×10^-2(5×10^-2)²×3,14²/2=2,5×10^-4Дж.

Ускорение маятника

а = a_max при , следовательно

ô а_max ô = Aw² (1.5)

Проверим единицы a_max по формуле (1.5):

[ а ] = м ×

Подставим в формулу (1.5) числовые значения и произведём расчеты

а _max = 5×10^-2×3,14² » 0,5м/с²

Ответ: n = 0,5 Гц; Т = 2с; w = 3,14с^-1; l» 1м; W = 2,5×10^-4 Дж; а _max» 0,5 м/с².

1.2.2 Задача 2. Частица массой m = 0,01 кг совершает гармонические колебания с периодом Т = 2 с. Полная энергия колеблющейся точки W = 0,1 мДж. Определить амплитуду А колебаний и наибольшее значение силы F _max, действующей на частицу.

Дано: m = 0,01кг Т = 2с W = 0,1 мДж = = 0,1×10-3Дж	Решение: Для определения амплитуды колебаний воспользуемся выражением полной энергии частицы: ,
А -? F max -?	где . Отсюда амплитуда колебаний

. (1.6)

Так как частица совершает гармонические колебания, то сила, действующая на нее, является квазиупругой и, следовательно, может быть выражена соотношением

F = - kx,

где k - коэффициент квазиупругой силы; х - смещение колеблющейся точки.

Максимальной сила будет при максимальном смещении х_max, равном амплитуде:

F_max = kA. (1.7)

Коэффициент k выразим через период колебаний:

(1.8)

Подставив выражения k и А в формулу (1.7) и производя упрощения, получим

. (1.9)

Проверим единицы амплитуды А и максимальной силы F_max по формулам (1.6) и (1.9):

.

.

Полученные единицы соответствуют определяемым величинам,

следовательно, формулы (1.6) и (1.9) верны.

Подставим в формулы (1.6) и (1.9) числовые значения и произведём вычисления:

Н=4,44×10^-3Н=4,44мН.

Ответ: А = 45мм; F_max = 4,44мН.

1.2.3 Задача 3. Разность потенциалов на обкладках конденсатора в колебательном контуре изменяется со временем по закону U = 100 sin 1000 pt. Электроёмкость конденсатора 0,5мкФ. Определить период собственных колебаний, индуктивность, энергию контура и максимальную силу тока, текущего по катушке индуктивности.

где U₀ – амплитудное (максимальное) значение напряжения на обкладках

Дано: U = 100 sin 1000 pt C = 0,5×10-6Ф	Решение: Напряжение на конденсаторе изменяется по гармоническому закону U = U0 sinw0t, (1.10)
Т -? L -? W -? Im ax-?

конденсатора; w₀ – собственная циклическая частота колебаний, которая

связана с периодом соотношением

. (1.11)

Из сравнения формулы (1.10) с выражением для U по условию задачи следует, что w₀ = 1000p. Отсюда находим

с.

Период собственных колебаний в контуре определяется по формуле Томсона

,

откуда

0,2 Гн.

Полная энергия контура W – это сумма электрической и магнитной энергий и равна максимальной энергии поля конденсатора

W= (1.12)

или максимальной энергии магнитного поля катушки индуктивности

W= . (1.13)

Определим энергию контура W по формуле (1.12):

=2,5×10^-3Дж=2,5мДж.

Зная полную энергию, можно определить максимальную силу тока, протекающего по катушке индуктивности, с помощью формулы (1.13):

=0,15 А.

Ответ: Т = 0,002с, L = 0,2Гн, W = 2,5мДж, I_max = 0,15А.

1.2.4 Задача 4. Амплитуда колебаний математического маятника длиной l =1м за время t =10мин уменьшилось в 2 раза. Определить логарифмический декремент затухания q.

Дано: l= 1м t =10мин =600с	Решение: Амплитуда затухающих колебаний описывается формулой А=А0е- bt, (1.14) где А0 - начальная амплитуда колебаний, b - коэффициент
q-?

затухания. Из формулы (1.14) имеем:

, ,

(1.15)

Логарифмический декремент затухания q связан с коэффициентом затухания b соотношением:

q = bТ, (1.16)

где Т - период колебаний. Для математического маятника

(1.17)

Подставив выражения (1.15) и (1.17) в формулу (1.16), получим окончательную формулу для логарифмического декремента затухания:

(1.18)

Подставим числовые значения и произведём вычисления:

.

Ответ: q = 2,31×10^-3.

1.2.5 Задача 5. Колебательный контур состоит из катушки с индуктивностью L =1,2 мГн и конденсатора переменной электроёмкости от С ₁=12пФ до С ₂ = 80пФ. Определить диапазон длин электромагнитных волн, которые могут вызвать резонанс в этом контуре. Активное сопротивление контура принять равным нулю.

Дано: L= 1,2мГн=1,2×10-3Гн С1= 12пФ=12×10-12Ф С2= 80пФ=80×10-12Ф R =0	Решение: Длина электромагнитной волны, которая может вызвать резонанс в контуре, связана с периодом Т колебаний контура соотношением: l = сТ, где с - скорость электромагнитных волн. Период колебаний в свою очередь, связан с
l1-?l2 -?

индуктивностью L катушки и электроёмкостью С конденсатора формулой Томсона:

.

Следовательно

. (1.19)

Согласно условию задачи, индуктивность контура неизменна, а электроёмкость контура может меняться в пределах от С ₁ до С ₂. Этим значениям электроёмкости соответствуют длины волн l₁ и l₂, определяющие диапазон длин волн, которые могут вызвать резонанс:

; . (1.20)

Проверим единицы длины волныlв соответствии с формулой (1.19):

[ l ] = м×с^-1× = =м.

Подставим числовые значения в формулы (1.20) и произведём расчёты:

l ₁= 3×10⁸× 2× 3,14 × =226 м.

l ₂= 3×10⁸× 2× 3,14 × =585 м.

Ответ: l ₁=226 м, l ₂=585 м.

1.2.6 Задача 6. Плоская электромагнитная волна распространяется в среде (e = 9) и описывается уравнением Н = 2cos2p (2×10⁷ t - 0,2 х). Определить период и частоту колебаний, длину волны и скорость её распространения, магнитную проницаемость среды.

Дано: e =9 Н =2cos2p (2×107 t - 0,2 х)	Решение: Уравнение плоской электромагнитной волны в общем виде: Н = Нm соs 2 p (), (1.21)
Т -? l -? u -? m -? n -?

где Н _m – амплитуда колебаний вектора напряженности магнитного поля; Т - период колебаний; l - длина волны; t - время; х - координата. Сравнив уравнение (1.21) с уравнением в условии задачи, получим:

= 2×10⁷ c^-1, = 0,2 м ^-1,

следовательно:

T = =5×10^-8 c; l = = 5м.

Длина волны, частота, период и скорость волны связаны соотношениями:

n =

Тогда

u =5 / (5×10^-8)= 10⁸ м/с; n =1/ (5×10^-8)= 2×10⁷ с^-1.

Скорость электромагнитных волн связана с характеристиками среды e и m соотношением

, (1.22)

где e и m - электрическая и магнитная проницаемости среды; c – скорость света в вакууме (см. табл. 1). Из формулы (1.22) получим

.

Ответ: Т= 5×10^-8 c; l =5 м; u = 10⁸ м/с; n =2×10⁷ с^-1; m =1.