Синтез прямого адаптивного управления на основе принципа локализации

Рассмотрим задачу синтеза адаптивного управления для случай каскадного соединения нелинейных подсистем, когда выход одной подсистемы можно рассматривать в качестве управляющего воздействия для другой подсистемы. К данному виду относятся многие технические и технологические системы управления и в ряде случаев могут быть к ним приведены с помощью эквивалентных преобразований.

Пусть является регулируемой координатой для ОУ представленного каскадной системой дифференциальных уравнений:

(2.7)

где – вектор неизвестных априори параметров системы, – гладкие функции своих аргументов.

Ставится задача построения закона управления

, (2.8)

при котором в замкнутой системе при произвольных ограниченных внешних воздействиях обеспечивается заданная точность:

при . (2.9)

Известны различные подходы к решению данной задачи. Наиболее распространенной стратегией отыскания закона управления (2.8) является двухэтапный синтез. На первом этапе ставится задача отыскания обратной связи вида

, (2.10)

обеспечивающей достижение целей управления при условии, что значения известны. На втором этапе вектор в выражении (2.10) формально заменяют оценкой , которая строится с помощью уравнения

, (2.11)

и находят уравнение (2.11), гарантирующее достижение цели управления с учетом ограничений задачи (неполноту информации, ограничение на управление и др.).

В этом случае задача синтеза адаптивного регулятора при соблюдении условий устойчивости системы разбивается на две независимые задачи. Это позволяет использовать известные методы синтеза управления (2.10) для нелинейных систем, и с другой стороны применять различные алгоритмы построения оценки (2.11).

В такой постановке задачи не рассматриваются возможности повышения качества процессов управления за счет учета динамики процесса адаптации (2.11) и построения соответствующего закона управления (2.8). Учет процесса адаптации при выборе закона управления относится к задачам прямого адаптивного управления, рассмотренных в работе [3]. Однако в [3] не учитывается влияние возмущений, которые существенно влияют на процесс адаптации. Ниже рассматривается подход к синтезу управления (2.8), совмещенного с процессом адаптации (2.11), при наличии возмущений с использованием принципа локализации [20], рассмотренного ранее в работе [14].

С целью выполнения условия (2.9) для регулируемой координаты используем эталонную модель и введем отклонение , которое подчиним уравнению

, (2.12)

где . Тогда из первого уравнения системы (2.7) с учетом получим выражение

. (2.13)

Координату с учетом (2.12) представим в виде:

, (2.14)

где – неизвестная переменная, – вектор настраиваемых параметров, удовлетворяющий уравнению

. (2.15)

Тогда придем к системе уравнений

, (2.16)

, (2.17)

где , переменная выбирается из условия устойчивости

, (2.18)

где .

Если в дальнейшем удастся выполнить условие (2.18), то в уравнении (2.16) переменная при . Тогда выполняется условие при , поскольку производная по времени функции Ляпунова

. (2.19)

Однако, относительно вектора можно утверждать только, что при .

Выполняя последовательно указанные выше операции, получим выражение для , от которого возьмем производную по времени. В результате получим выражение, в которое входят управление , известные и неизвестные функции. При этом полагаем , где – является решением уравнения

, (2.20)

– компенсирует , а управление – компенсирует с помощью принципа локализации:

.

Особенностью управления по сравнению с ранее рассмотренным способом синтеза в работе [14] является возможность оценивать вектор неизвестных параметров системы и проводить компенсацию известных функций, что позволяет снизить коэффициент усиления в выражении (2.20).

Для сравнения данного способа синтеза адаптивного управления рассмотрим тестовую задачу из работы [3].

Пример 2.1. Пусть задана система второго порядка

(2.21)

где , – неизвестные априори постоянные параметры, – ограниченное неизвестное возмущение, задается значение .

Уравнения (2.16), (2.17) будут иметь вид

, (2.22)

, (2.23)

где , оценка является решением уравнения

. (2.24)

Производная переменной с учетом (2.24) имеет вид

(2.25)

Оценка параметров , осуществляется с помощью алгоритма

, (2.26)

. (2.27)

Уравнение (2.25) перепишем в виде

,

где и – известное и неизвестное приведенные возмущения:

,

.

Тогда получим адаптивный закон управления

, (2.28)

. (2.29)

Для вычисления можно воспользоваться приближенным выражением

.

Проведем моделирование замкнутой системы (2.21), (2.26)-(2.29) при исходных данных принятых в работе [3]: , ; возмущение отсутствует, т.е. ; начальные условия , .

На рисунках 2.1-.2.4 приведены переходные процессы координат , , управления и оценки точности идентификации параметров , равной

.

В работе [3] проведено сравнение различных алгоритмов управления и наилучшим признан алгоритм авторов, при котором время регулирования составляет , спустя время значение , значение критерия качества, характеризующего затраты энергии на управление , при равно .

Рисунок 2.1

Рисунок 2.2

Рисунок 2.3

Рисунок 2.4

Как следует из рисунков 2.1-2.2 здесь при заданных параметрах , введении ограничения на управление , получено время регулирования , , .

Также проводилось моделирование динамики системы при наличии возмущающего воздействия . При этом переходные процессы рисунков 2.1-2.4 практически не изменились.

Таким образом, предложенный закон управления (2.26)-(2.29) существенно превосходит указанные в работе [3] алгоритмы адаптивного управления объектом (2.21).

Продолжим рассмотрение данного примера, используя другой подход к синтезу управления на основе идентификации неопределенных возмущений в системе.

Исходную систему (2.21) перепишем в виде

(2.30)

где , – неизвестные воздействия.

Для решения задачи будем оценивать для использования в законе управления, а воздействие подавлять с помощью управляющего сигнала .

Используем предложенный в работе [14] способ оценивания нерегулярных внешних воздействий. Здесь нетрудно показать, что наблюдающее устройство имеет вид

, (2.31)

, (2.32)

где , , – выбираемые параметры.

Введем отклонение , которое подчиним уравнению

,

из которого найдем выражение . Найдем производную по времени для отклонения , которую представим в виде:

,

где , .

Тогда закон управления будет иметь вид

, (2.33)

. (2.34)

Проведем моделирование замкнутой системы (2.30)-(2.34) при тех же исходных данных, для принятых параметров: , , .

На рисунках 2.5-.2.8 приведены переходные процессы координат , , управления , , .

Рисунок 2.5

Рисунок 2.6

Рисунок 2.7

Рисунок 2.8

Как следует из рисунков 2.5-2.7 здесь при заданных параметрах , и отсутствии в законе управления (2.33) компенсирующей составляющей , управление ограничено, т.е. . При этом время регулирования , а значение критерия . При учете в управлении (2.33) компенсирующей составляющей переходные процессы не изменяются, кроме управляющего сигнала , который ограничен неравенством , при этом значение критерия .

На рисунке 2.8 приведены для сравнения графики и (пунктирная линия), иллюстрирующие работоспособность алгоритма оценивания возмущения.

Также проводилось моделирование динамики системы при наличии возмущающего воздействия . При этом переходные процессы рисунков 2.5-2.7 практически не изменились.

Таким образом, предложенный закон управления (2.31)-(2.34) проще закона управления (2.26)-(2.29) и требует в 3 раза меньше энергетических затрат. Кроме того данный способ синтеза управления применим к более широкому классу нелинейных систем, чем рассмотренная система (2.7).