Операции над событиями

Виды случайных событий

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 1.10. Из ящика с деталями наугад извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События {появилась стандартная деталь} и {появилась нестандартная деталь}- несовместные.

Пример 1.11. Брошена монета. Появление "герба" исключает появление цифры. События {появился герб} и {появилась цифра} - несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится, хотя бы одно из них. Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Этот частный случай представляет для нас наибольший интерес, поскольку используется далее.

Пример 1.12. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: {выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй}, {выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй}, {выигрыш выпал на оба билета}, {на оба билета выигрыш не выпал}. Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

Пример 1.13. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание или промах. Эти два несовместных события образуют полную группу.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

3. Операции над событиями: сумма (объединение), произведение (пересечение) и разность событий; диаграммы Вьенна.

Операции над событиями

События обозначаются заглавными буквами начала латинского алфавита A, B, C, D, …, снабжая их при необходимости индексами. Тот факт, что элементарный исход х содержится в событии А, обозначают .

Для понимания удобна геометрическая интерпретация при помощи диаграмм Виенна: представим пространство элементарных событий Ω в виде квадрата, каждой точке которого соответствует элементарное событие. Случайные события А и В, состоящие из совокупности элементарных событий х_i и у_j, соответственно, геометрически изображаются в виде некоторых фигур, лежащих в квадрате Ω (рис. 1-а, 1-б).

Пусть опыт состоит в том, что внутри квадрата, изображенного на рисунке 1-а, выбирается наугад точка. Обозначим через А событие, состоящее в том, что {выбранная точка лежит внутри левой окружности} (рис.1-а), через В – событие, состоящее в том, что {выбранная точка лежит внутри правой окружности} (рис. 1-б).

Достоверному событию благоприятствует любое , поэтому достоверное событие будем обозначать тем же символом Ω.

Два события тождественны друг другу (А=В) тогда и только тогда, когда эти события состоят из одних и тех же элементарных событий (точек).

Суммой (или объединением) двух событий А и В называется событие А+В (или ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит или А, или В. Сумме событий А и В соответствует объединение множеств А и В (рис. 1-д).

Пример 1.15. Событие, состоящее в выпадении четного числа, является суммой событий: выпало 2, выпало 4, выпало 6. То есть, {х= четное }= { х=2 }+{ х=4 }+{ х=6 }.

Отметим очевидные соотношения:

Произведением (или пересечением) двух событий А и В называется событие АВ (или ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит и А, и В. Произведению событий А и В соответствует пересечение множеств А и В (рис. 1-е).

Пример 1.16. Событие, состоящее в выпадении 5, является пересечением событий: выпало нечетное число и выпало больше 3-х, то есть, A{x=5}=B{x-нечетное}∙C{x>3}.

Отметим очевидные соотношения:

Событие называется противоположным к А, если оно происходит тогда и только тогда, когда А не происходит. Геометрически – это множество точек квадрата, не входящее в подмножество А (рис. 1-в). Аналогично определяется событие (рис. 1-г).

Пример 1.14.. События, состоящие в выпадении четного и нечетного чисел, - события противоположные.

Отметим очевидные соотношения:

Два события называются несовместными, если их одновременное появление в опыте невозможно. Следовательно, если А и В несовместны, то их произведение – невозможное событие:

Введенные ранее элементарные события, очевидно, попарно несовместны, то есть

Пример 1.17. События, состоящие в выпадении четного и нечетного чисел, - события несовместные.

А В а) б) в) г)

А+В АВ или А\В В\А или

д) е) ж) з)

Рис. 1. Диаграммы Виенна

Разностью событий А и В называется событие А\В (или ), происходящее тогда и только тогда, когда происходит А, но не происходит В (рис. 1-ж). Аналогично определяется событие В\А (или (рис.1-з).

Отметим очевидные соотношения: (рис. 1-г).

Так как разность событий можно выразить с помощью операций отрицания и произведения, пользоваться разностью событий в дальнейшем не будем.

Введенные выше операции сложения и умножения обладают следующими свойствами: А+В=В+А, АВ=ВА, А(В+С)=АВ+АС, А(ВС)=(АВ)С.

Пример 1.18. Производится два выстрела по цели. Пусть событие А –{попадание в цель при первом выстреле}, В ––{попадание при втором выстреле}, тогда - промахи, соответственно, при первом и втором выстрелах. Обозначим: событие С –{поражение цели} и примем, что для этого достаточно хотя бы одного попадания. Требуется выразить событие С через события А и В.

Решение. Цель будет поражена в следующих случаях: попадание при первом и промах при втором; промах при первом и попадание при втором; попадание при первом и втором выстрелах. Используя введенные выше операции, перечисленные варианты можно соответственно записать: интересующее нас событие заключается в наступлении или первого, или второго, или третьего вариантов (хотя бы одного), то есть

.

С другой стороны, событие , противоположное событию С, есть промах при двух выстрелах, то есть , отсюда искомое событие С можно записать в виде . Возможность различного выражения искомого события часто оказывается полезной при решении задач.

4. Относительная частота и вероятность события А. Определение вероятности. Свойства относительной частоты и вероятности. Устойчивость относительной частоты.