Вероятность попадания случайной точки в полуполосу

Используя функцию распределения системы слу­чайных величин X и Y, можно найти вероятность того, что в результате испыта­ния случайная точка попадает в полуполосу и (случай а) на рисунке) или в полуполосу и (случай б) на рисунке):

а)

б)

Для случая а) получаем:

. (9.2)

Аналогично, для случая б):

(9.3)

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в полуполосу равна приращению функции распре­деления по одному из аргументов.

23. Плотность распределения вероятностей двумерной случайной величины. Зависимость и независимость двух случайных величин.

Плотностью совместного распределения вероятностей (двумерной плотностью вероятности) непрерывной двумерной случайной величины называется смешанная частная производная 2-го порядка от функции распределения:

. (8.2)

Замечание. Двумерная плотность вероятности представляет собой предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами Δ х и Δ у к площади этого прямоугольника при

Свойства двумерной плотности вероятности.

f (x, y) ≥ 0 (см. предыдущее замечание: вероятность попадания точки в прямоуголь-ник неотрицательна, площадь этого прямоугольника положительна, следовательно, предел их отношения неотрицателен).

(cледует из определения двумерной плотности вероятно-сти).

(поскольку это вероятность того, что точка попадет на плос-кость О ху, то есть достоверного события).

Вероятность попадания случайной точки в произвольную область.

Пусть в плоскости О ху задана произвольная область D. Найдем вероятность того, что точка, координаты которой представляют собой систему двух случайных величин (двумерную случайную величину) с плотностью распределения f (x, y), попадет в область D. Разобьем эту область прямыми, параллельными осям координат, на прямоугольники со сторонами Δ х и Δ у. Вероятность попадания в каждый такой прямоугольник равна, где- координаты точки, принадлежащей прямоугольнику. Тогда вероятность попадания точки в область D есть предел интегральной суммы, то есть

(8.3)

Отыскание плотностей вероятности составляющих

двумерной случайной величины.

Выше было сказано, как найти функцию распределения каждой составляющей, зная двумерную функцию распределения. Тогда по определению плотности распределения

(8.4)

Аналогично находится (8.4′)