1. Функция .
2. .
3. ,
где и - переменные интегрирования.
4.
Математическим ожиданием двумерной случайной величины называется совокупность двух математических ожиданий М[Х], М[Y], то есть упорядоченных пар М[Х], М[Y], которые определяются равенствами:
а) если Х и Y – дискретные случайные величины:
М[Х]=, : ; .
М[Y]=.
б) если Х и Y – непрерывные случайные величины:
М[Х]=
М[Y]= ,
где - плотность вероятности двумерной случайной величины .
Математическое ожиданиеслучайной величины , которая является функцией компонент двумерной случайной величины , находится аналогично по формулам:
1) М[j(Х, Y)]= - если Х и Y – непрерывные случайные величины;
2) М[j(Х, Y)]=, : ; - если Х и Y – дискретные случайные величины.
25. Корреляционный момент и коэффициент корреляции двух случайных величин. Коррелированность и зависимость случайных величин.
Для двумерной случайной величины характеристики ее составляющих и , , , никак не отражают зависимости между и или ее отсутствия. Поэтому вводится еще одна числовая характеристика − корреляционный момент или ковариация.
|
|
Определение. Ковариацией или корреляционным моментом случайных величин и называется математическое ожидание произведения отклонений этих величин от их математических ожиданий:
.
Используя формулы для математических ожиданий, получаем
для дискретных величин ,
для непрерывных величин .
Ковариация характеризует зависимость величин.
Свойства корреляционного момента
1. Для независимых случайных величин и .
2. Если , то случайные величины и зависимы.
3. . (Для доказательства достаточно раскрыть скобки под знаком математического ожидания в определении.) В частности
для дискретных величин ,
для непрерывных величин .
4. . (Свойство сразу вытекает из 3.)
5. . (Выразите дисперсию через математические ожидания.)
6. .
7. . (Доказательство этого свойства можно найти в [1, гл.14, § 17].)
Ковариация имеет размерность произведения размерностей случайных величин и и зависит от того, в каких единицах измерялись величины. Для получения безразмерной характеристики вводится понятие коэффициента корреляции.
Определение. Коэффициентом корреляции случайных величин и называется отношение корреляционного момента к произведению средних квадратических отклонений этих случайных величин:
.
Свойства коэффициента корреляции
1. Для независимых случайных величин и .
2. . Коэффициент корреляции по абсолютной величине не превосходит единицы.
3. Если , то случайные величины и связаны линейной зависимостью, т.е. .
Определение. Случайные величины и называются некоррелированными, если , и коррелированными, если .
|
|
Следует помнить, что понятия некоррелированности и независимости не совпадают, несмотря на внешнее сходство. Независимые величины − некоррелированные, но обратное неверно. Коррелированные величины − зависимые, но обратное неверно. Любые коррелированные величины всегда зависимые, любые независимые величины всегда некоррелированные. Это можно отразить на двудольном графе.
Пример. У случайных величин и , , , , . Найдите и .
Решение. .
.
Ответ. , .
В заключение рассмотрим пример на вычисление всех характеристик системы случайных величин. Этот же пример рассмотрен в заданиях 6. СИСТЕМЫ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН.