Зависимость и независимость двух случайных величин. Числовые характеристики двумерной с.в. Математическое ожидание и дисперсия

Распределения соответствующих компонент в одной и другой таблицах одинаковы. Однако очевидно, что эти таблицы описывают абсолютно различные распределения двумерного случайного вектора (все значенияв одной таблице отличны от соответствующих значенийв другой таблице).

Таким образом, на поставленный выше вопрос можно дать следующий ответ: «Зная законы распределения отдельных случайных величин X и Y, входящих в систему, найти закон распределения всей системы в общем случае нельзя».

Заметим, что это можно сделать только в одном частном случае, когда случайные величины X и Y, образующие систему, независимы.

Определение. Две случайные величины X и Y называются независимыми, если независимы все связанные с ними события.

Например, и;ии т.д.

Замечание. Так как зависимость и независимость событий всегда взаимны (если событие A не зависит от события B, то и событие B не зависит от события A), поэтому зависимость и независимость случайных величин также всегда взаимны: если случайная величина X не зависит от случайной величины Y, то Y не зависит от X.

В терминах законов распределения независимость случайных величин можно определить так: «Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения каждой из них не зависит от того, какое значение приняла другая».

Если компоненты X и Y двумерного векторанезависимы, то функция распределениявыражается, через функции распределения отдельных компонент:

.

Верно и обратное утверждение. Это правило является необходимым и достаточным условием независимости для случайных величин любого типа.

Необходимые и достаточные условия независимости компонент X и Y для дискретного и непрерывного случаев:

X и Y являются независимыми дискретными случайными величинами тогда и только тогда, когда для всех значений индексов i и j выполняется

.

X и Y являются независимыми непрерывными случайными величинами тогда и только тогда, когда

.

Отметим, что допускается нарушение последнего равенства на множестве точек, имеющих двумерную площадь, равную нулю.

Ответ: компоненты X и Y независимы.

Замечание. В данном случае независимость компонент X и Y можно было установить, внимательно посмотрев на исходную таблицу, задающую закон распределения случайного вектора. Из этой таблицы видно, что закон распределения каждой из компонент не зависит от того, какое значение приняла другая компонента.

Числовые характеристики двумерных случайных величин.

Def: математическим ожиданием составляющей двумерной дискретной случайной величиныназывают число:

Математическим ожиданием составляющей двумерной дискретной случайной величиныназывают число:

Def: математическим ожиданием составляющей непрерывной двумерной случайной величиныназывают число:

, где

В результате получим:

Математическим ожиданием составляющей непрерывной двумерной случайной величиныназывают число:

Def: дисперсией составляющей двумерной дискретной случайной величины называют число:

Дисперсией составляющей двумерной дискретной случайной величины называют число:

Def: дисперсией составляющей двумерной непрерывной случайной величиныназывают число:

дисперсией составляющей двумерной непрерывной случайной величиныназывают число:

Корни квадратные из дисперсии называют средними квадратичными отклонениями составляющих:

Корреляционный момент (ковариация).

24. Математическое ожидание и дисперсия двумерной случайной величины.