Проверка формулы для периода колебаний физического маятника

на установке “Маятник Обербека”

Постановка задачи. Маятника Обербека (как это показывает его название) дает возможность исследовать колебания массивного тела относительно неподвижной горизонтальной оси. Сместим один из грузов m дальше от оси вращения (рис.9.2). Тогда маятник, отклоненный от положения равновесия, будет совершать колебания. Определяя период колебания с помощью секундомера, можно проверить формулу для периода колебаний физического маятника.

Указания к решению. Запишем уравнение вращательного движения для маятника Обербека (рис.9.2). Если маятник отклонить от положения равновесия на малый угол a (sina»a), то

. (9.26)

Здесь M_jz- алгебраическое значение момента силы тяжести, действующего на систему со стороны груза m_j. Для j=1,2,3 значения R₁=R₂=R₃=R, для j=4 имеем R₄>R. Согласно принятому правилу, положительными считаем моменты сил, вращающих тел против часовой стрелки. Отсюда

Ie=M₁+M₂-M₃-M₄.

Учитывая, что , получим

Ie=M₂-M₄. (9.27)

Подставляя в (9.27) значения

I=I₀+3mR²+mR₄²;

;

= mgR₂ sina» mgR a;

= mgR₄ sina» mgR₄ a;

получим дифференциальное уравнение малых колебаний маятника Обербека

Вводя общепринятое уравнение

, (9.28)

где w₀-циклическая частота колебаний

, (9.29)

убедимся подстановкой, что решение уравнения (9.28) имеет вид

Здесь a₀- максимальный угол отклонения; j₀ - начальная фаза колебаний. Из условия периодичности для функции cos(w₀t+j) находим период колебаний физического маятника

. (9.30)