Индивидуальные задания. 1.6.1. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению

1.6.1. Материальная точка совершает колебания согласно уравнению . В какой-то момент времени смещение точки . При возрастании фазы колебаний в два раза смещение оказалось равным . Определить амплитуду колебаний . Ответ: .

1.6.2. Материальная точка, совершающая гармонические колебания с частотой , в момент времени проходит положение, определяемое координатой , со скоростью . Определить амплитуду колебаний. Ответ: .

1.6.3. Полная энергия гармонически колеблющейся точки равна 10 мкДж, а максимальная сила, действующая на точку . Напишите уравнение движения этой точки , если период колебаний равен 4 с, а начальная фаза . Ответ: .

1.6.4. Если увеличить массу груза, подвешенного к пружине, на 600 г, то период колебаний груза возрастает в 2 раза. Определить массу первоначально подвешенного груза. Ответ: .

1.6.5. На горизонтальной пружине жесткостью укреплен шар массой , лежащий на гладком столе, по которому он может скользить без трения. Пуля массой , летящая с горизонтальной скоростью и имеющая в момент удара скорость, направленную вдоль оси пружины, попала в шар и застряла в нем. Пренебрегая массой пружины и сопротивлением воздуха, определить: 1)амплитуду колебаний шара; 2)период колебаний шара. Ответ: , .

1.6.6. На чашку весов массой , подвешенную на пружине жесткостью , с высоты падает небольшой груз массой . Удар груза о дно чашки является абсолютно неупругим. Чашка в результате падения груза начинает совершать колебания. Определить амплитуду этих колебаний. Ответ: .

1.6.7. Физический маятник представляет собой тонкий однородный стержень длиной 35 см. Определить, на каком расстоянии от центра масс должна находиться точка подвеса, чтобы частота колебаний была максимальной. Ответ: .

1.6.8. Однородный диск радиусом колеблется около горизонтальной оси, проходящей на расстоянии от центра диска. Определить период колебаний диска относительно этой оси. Ответ: .

1.6.9. Тонкий обруч радиусом подвешен на вбитый в стену гвоздь и колеблется в плоскости, параллельной стене. Определить период колебаний обруча. Ответ: .

1.6.10. Тонкий однородный стержень длиной может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси, отстоящей на расстоянии от его середины. Определить период колебаний стержня, если он совершает малые колебания. Ответ: .

1.6.11 Из тонкого однородного диска радиусом вырезана часть, имеющая форму круга радиусом , центр которого находится на середине радиуса диска (рис.1.6.1). Определить периоды колебаний получившегося маятника относительно горизонтальных осей, проходящих через образующие диска в точках А и В.

Ответ: , .

1.6.12. Математический маятник отклонили на от вертикали и отпустили. В тот момент, когда маятник проходил положение равновесия, точка его подвеса стала двигаться вверх с ускорением . На какой максимальный угол от вертикали отклонится маятник? Ответ: .

1.6.13. Математический маятник, состоящий из нити длиной и свинцового шарика радиусом , совершает гармонические колебания с амплитудой . Определить: 1)скорость шарика в момент прохождения им положения равновесия; 2)максимальное значение возвращающей силы. Плотность свинца . Ответ: , .

1.6.14. Математический маятник длиной подвешен к потолку кабины, которая начинает опускаться вертикально вниз с ускорением . Спустя время после начала движения кабина начинает двигаться равномерно, а затем в течение 3 с тормозится до остановки. Определить периоды гармонических колебаний маятника на каждом участке пути. Ответ: , , .

1.6.15. К наклонной стене подвешен маятник длины . Маятник отклонили от вертикали на малый угол, в два раза превышающий угол наклона стены к вертикали, и отпустили. Найти период колебаний маятника, если удары о стену абсолютно упругие. Ответ: .

1.6.16. Тело массы , подвешенное на пружине жесткости , лежит на подставке. Подставку мгновенно убирают. Написать уравнение колебаний тела , если первоначально пружина не деформирована. Ответ: .

1.6.17. Складываются два гармонических колебания одного направления, уравнения которых и , см. Определить амплитуду и начальную фазу результирующего колебания. Ответ:

, .

1.6.18. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях согласно уравнениям и . Определить уравнение траектории точки и указать направление движения точки по ней. Ответ: , по часовой стрелке.

1.6.19. Точка участвует в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях согласно уравнениям и . Определить уравнение траектории точки . Ответ: .

1.6.20. Точка участвует одновременно в двух гармонических колебаниях, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях согласно уравнениям и . Определить уравнение траектории точки . Ответ: .

1.6.21. Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и . Определить уравнение траектории точки . Ответ: .

1.6.22. Точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных колебаниях, выражаемых уравнениями и . Определить уравнение траектории точки . Ответ: .

1.6.23. Амплитуда затухающих колебаний маятника за уменьшилась в 2 раза. Определить коэффициент затухания . .

1.6.24. Амплитуда затухающих колебаний математического маятника за 1 мин уменьшилась в 3 раза. Определить, во сколько раз она уменьшится за 4 мин. Ответ: .

1.6.25. Начальная амплитуда затухающих колебаний маятника . По истечении амплитуда становится . Определить, через какое время от начала колебаний амплитуда станет . Ответ: .

1.6.26. Тело массой , подвешенное к пружине жесткостью , совершает в некоторой среде упругие колебания. Логарифмический декремент колебаний . Определить: 1) время, за которое амплитуда колебаний уменьшится в 3 раза; 2)число полных колебаний, которые должно совершить тело за это время. Ответ: , .

1.6.27. При наблюдении затухающих колебаний выяснилось, что для двух последовательных колебаний амплитуда второго меньше амплитуды первого на 60%. Период затухающих колебаний . Определить, какова была бы при этих условиях частота незатухающих колебаний. Ответ: .

1.6.28. Тело массой , совершая затухающие колебания, за потеряло 40% своей энергии. Определить коэффициент сопротивления . Ответ: .

1.6.29. Гиря массой , подвешенная на пружине жесткостью совершает колебания в вязкой среде с коэффициентом сопротивления . На верхний конец пружины начинает действовать вынуждающая сила, изменяющаяся по закону . Определить для данной колебательной системы резонансную амплитуду. Ответ: .

1.6.30. Гиря массой , подвешенная на пружине жесткостью , опущена в масло. Коэффициент сопротивления для этой системы . На верхний конец пружины действует вынуждающая сила, изменяющаяся по закону . Определить амплитуду вынужденных колебаний, если частота вынуждающей силы вдвое меньше собственной частоты колебаний. Ответ: .