2015-01-07
679
Различают метод левых, правых и средних прямоугольников. Суть метода ясна из рисунка. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс.
Выведем формулу метода прямоугольников из анализа разложения функции f(x) в ряд Тейлора вблизи некоторой точки x = x i.
…
Рассмотрим диапазон интегрирования от x i до x i + h, где h – шаг интегрирования.
Вычислим 
…=
= 
= 
. Получили формулу правых (или левых) прямоугольников и априорную оценку погрешности r на отдельном шаге интегрирования. Основной критерий, по которому судят о точности алгоритма – степень при величине шага в формуле априорной оценки погрешности.
В случае равного шага h на всем диапазоне интегрирования общая формула имеет вид
.
Здесь n – число разбиений интервала интегрирования, 
. Для справедливости существования этой оценки необходимо существование непрерывной f’ (x).
Метод средних прямоугольников. Здесь на каждом интервале значение функции считается в точке 
, то есть 
. Разложение функции в ряд Тейлора показывает, что в случае средних прямоугольников точность метода существенно выше:
.
