2015-01-07
379
При численном решении большого круга задач в конечном итоге происходит их линеаризация, в связи с чем в соответствующих алгоритмах весьма широко используются методы линейной алгебры. В их числе:
- решение систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ);
- вычисление определителей матриц
; - нахождение обратных матриц
; - определение собственных значений и собственных векторов матриц
;
Постановка задачи решения СЛАУ: 
, (1) где 
– квадратная матрица коэффициентов размерности n, 
– вектор неизвестных, 
– вектор свободных коэффициентов. Иногда СЛАУ представляют в виде расширенной матрицы размерности n × n +1, где в качестве последнего столбца фигурирует вектор свободных коэффициентов. В координатном представлении такая СЛАУ выглядит следующим образом:
. (2)
Для решения СЛАУ применяют в основном два класса методов: прямые (выполняемые за заранее известное количество действий) и итерационные (обеспечивающие постепенную сходимость к корню уравнения, зависящую от многих факторов). Прямые методы обычно применяются для решения систем порядка n < 200, для бóльших n используются итерационные методы. Перед решением СЛАУ требуется проанализировать корректную постановку задачи:
1) Если 
– решение существует и единственно. Если же определитель равен нулю, то тогда, если матрица вырождена (т.е. ее можно преобразовать к виду, когда как минимум одна строка коэффициентов – нули) решений бесконечное множество, иначе решения не существует.
2) Если не имеет элементов с большими по модулю значениями – решение устойчиво (см. пример к главе 1). Показателем плохо обусловленных систем является 
.
