2015-01-07
1319
Увеличение точности решения ОДУ из предыдущей задачи при заданном шаге h может быть достигнуто учетом большего количества членов разложения функции в ряд Тейлора. Для метода Рунге-Кутты второго порядка следует взять три первых коэффициента, т.е. обеспечить:
. (8)
Переходя к приближенному решению y ≈ u и заменяя производные в (8) конечными разностями, получаем в итоге следующее выражение:
, (9)
где 0 ≤ α ≤ 1– свободный параметр. Можно показать, что если f (x, u) непрерывна и ограничена вместе со своими вторыми производными, то решение, полученное по данной схеме, равномерно сходится к точному решению с погрешностью порядка h 2.
Для параметра α наиболее часто используют следующие значения:
1) 
α = 1. В этом случае
. Графически это уточнение можно интерпретировать так: сначала по схеме ломаных делается шаг h /2, и находится значение 
. В найденной точке определяется наклон касательной к интегральной кривой, который и будет определять приращение функции для целого шага, т.е. отрезок [AB] (см. рисунок) будет параллелен касательной, проведенной в точке (x k + h /2, y (x k + h /2)) к интегральной кривой.
|
|
|
2) α = ½. В этом случае
. Можно представить, что в этом случае по методу Эйлера сначала вычисляется значение функции и наклон касательной к интегральной кривой в точке x k+1. Затем находится среднее положение касательной из сравнения соответствующих наклонов в точках x k и x k+1, которое и будет использоваться для расчета точки y k+1.
