Метод Адамса

Метод основан на аппроксимации интерполяционными полиномами правых частей ОДУ.

Пусть с помощью любого из методов, рассмотренных выше, вычислено решение заданного дифференциального уравнения в точках x ₁, x ₂, x ₃ (а в точке x ₀ решение и так известно – поставлена задача Коши). Полученные значения функции обозначим как y ₀, y ₁, y ₂, y ₃, а значения правой части дифференциального уравнения как f ₀, f ₁, f ₂, f ₃, где f _k = f (x _k, y _k). Начиная с четвертой точки, на каждом шаге интегрирования дифференциального уравнения вычисления осуществляются по схеме

P(EC)^{m}E

где P – прогноз решения; Е ­– вычисление f(x,y); С – коррекция решения; m ­– количество итераций коррекции. Схемы такого типа называют «прогноз-коррекция»: это подразумевает сначала приблизительное вычисление решение по формуле низкого порядка, а затем уточнение с учетом полученной информации о поведении интегральной кривой.

Прогноз осуществляется по экстраполяционной формуле Адамса:

. (10)

Коррекция осуществляется по интерполяционной формуле Адамса:

. (11)

Вычисление осуществляется по формуле:

Количество итераций m ≤ p, где p ­– порядок используемого метода. В ходе каждой итерации решается нелинейное уравнение (11) относительно неизвестной y ₄ (обычно методом простых итераций).

Иногда в методе Адамса используется схеме PECE на каждом шаге процесса интегрирования, т.е. осуществляется только одна коррекция. В силу сложности вычислений метод используется только в мощных программных пакетах численного анализа. Формулы метода также легко переносятся на решение систем ОДУ первого порядка.