2015-01-07
289
Задание 3. Найтизначениефункции 
в точке локального экстремума.
Решение. Точка 
является точкой максимума (минимума) функции 
, если найдется такая окрестность точки 
, что для всех точек 
из этой окрестности выполняется неравенство 
.
Точки максимума и минимума называются точками экстремума. При этом если в точке экстремума существует первая частная производная, по какому-либо аргументу, то она равна нулю.
Точки экстремума дифференцируемой функции, то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области, надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.
Пусть 
и 
, а вторые частные производные функции непрерывны в некоторой окрестности точки 
. Введем обозначения:
Тогда, если 
, то в точке экстремума нет.
Если 
, то в точке экстремум функции есть, причем если 
, то минимум, а если 
, то максимум.
Если 
, то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.
Для функции находим первые частные производные:
, 
и решаем систему
Тем самым находим точки подозрительные на экстремум: 
и 
.
Находим вторы частные производные и смешанную производную:
, 
, 
.
Определяем знак выражения 
в каждой точке подозрительной на экстремум
.
Следовательно, в точке экстремума нет.
.
Поэтому в точке есть экстремум.
Находимзначениефункции в точке :
