Ответ: 2

Задание 3. Найтизначениефункции в точке локального экстремума.

Решение. Точка является точкой максимума (минимума) функции , если найдется такая окрестность точки , что для всех точек из этой окрестности выполняется неравенство .

Точки максимума и минимума называются точками экстремума. При этом если в точке экстремума существует первая частная производная, по какому-либо аргументу, то она равна нулю.

Точки экстремума дифференцируемой функции, то есть функции, имеющей непрерывные частные производные во всех точках некоторой области, надо искать только среди тех точек, в которых все первые частные производные равны нулю.

Пусть и , а вторые частные производные функции непрерывны в некоторой окрестности точки . Введем обозначения:

Тогда, если , то в точке экстремума нет.

Если , то в точке экстремум функции есть, причем если , то минимум, а если , то максимум.

Если , то экстремум может быть, а может и не быть. В данном случае требуются дополнительные исследования.

Для функции находим первые частные производные:

,

и решаем систему

Тем самым находим точки подозрительные на экстремум: и .

Находим вторы частные производные и смешанную производную:

, , .

Определяем знак выражения в каждой точке подозрительной на экстремум

.

Следовательно, в точке экстремума нет.

.

Поэтому в точке есть экстремум.

Находимзначениефункции в точке :