Метод Адамса

Требуется проинтегрировать уравнение при начальном условии . Одним из разностных методов приближенного решения этой задачи является метод Адамca. Метод позволяет получить решение дифференциального уравнения с заданной точностью . Алгоритм метода состоит из следующих шагов:

1.Задать некоторый шаг h изменения аргумента и вычислить значения .

2.Вычислить три значения искомой функции :

.

3.По значениям аргумента и функции вычислить величины

.

4. Составить таблицу конечных разностей:

.

x	Y	Δ y	q	Δ q	Δ2 q	Δ3 q
…	…	…	…	…	…	…

5.По формуле Адамса найти значения

,

.

6.Вычислить и следующие конечные разности

.

7. Вычислить

, и затем .

8. Вычисления продолжаются в соответствии с п.6 и п.7 до достижения необходимой точности.

Пример. Используя метод Адамса со вторыми разностями, составить таблицу приближенных решений дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальному условию на отрезке , шаг . Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками. Начальный отрезок определить методом Рунге – Кутта.

Решение. На первом этапе определим начальный отрезок.

Начальное условие дает точку .

Следующее значение функции при находим методом Рунге-Кутта, результат вычислений в таблице.

x	y		Добавка
=0	=0	=0,1
=0,0500	=0,0500	=0,0900	0,0908
=0,0500	=0,0450	=0,0904
=0,1000	=0,0452	=0,0841
=0,1	=0,0908

Получена вторая точка начального отрезка

Вычисляем третью точку

X	Y		Добавка
=0,1	=0,0908	=0,0807
=0,1500	=0,1312	=0,0717	0,0724
=0,1500	=0,1267	=0,0720
=0,2000	=0,1268	=0,0661
=0,2	=0,1632

Получена третья точка начального отрезка

Таким образом, получены точки начального отрезка

Вычисление следующих значений получим по формуле Адамса со вторыми разностями

.

Конечные разности для точек начального участка вычисляются по формулам:

Результаты вычислений занесены в таблицу

		0,0000	1,0000	0,1000	-0,0192	0,0020
	0,1	0,0903	0,8079	0,0808	-0,0172	0,0024
	0,2	0,1623	0,6362	0,0636	-0,0148	0,0024
	0,3	0,2181	0,4884	0,0488	-0,0124	0,0023
	0,4	0,2606	0,3649	0,0365	-0,0100	0,0022
	0,5	0,2919	0,2646	0,0265	-0,0079	0,0020
	0,6	0,3144	0,1860	0,0186	-0,0059	0,0019
	0,7	0,3299	0,1273	0,0127	-0,0040	0,0018
	0,8	0,3405	0,0872	0,0087	-0,0022
	0,9	0,3480	0,0648	0,0065
		0,3541

Индивидуальные задания по приближенным методам решения обыкновенных дифференциальных уравнений (метод рунге-кутта)

Задание 1

1) Используя метод Рунге-Кутта, построить решения предлагаемой ниже задачи Коши на интервале [ k/20, k/20+1 ], где k - номер варианта. Начальный шаг h=0,1.

2) Деля шаг пополам, получить решение с тремя верными знаками после запятой.

Номер варианта	Уравнение	Начальное условие
1 (k=1)	=	x=0,05k=0,05k
2 (k=2)
3 (k=3)
4 (k=12)	=	x=0,05k=0,1k
5 (k=15)
6 (k=18)
7 (k=21)	=	x=0,05k=0,5(k-20)
8 (k=24)
9 (k=27)
10 (k=32)	=	x=0,05k=0,1k
11(k=36)
12(k=40)
13(k=42)	= +x	x=0,05k=0,1k
14(k=45)
15(k=50)
16(k=52)	=	x=0,05k=0,5(k-50)
17(k=55)
18(k=60)
19(k=64)	=	x=0,05k=0,01k
20(k=66)
21(k=70)
22(k=72)	= (xy+1- )	x=0,01k=0,02k
23(k=75)
24(k=80)
25(k=84)	=	x=0,01k=0,01k
26(k=86)
27(k=88)
28(k=92)	=	x=0,05k=0,01k
29(k=95)
30(k=100)