Простейшим одношаговым численным методом решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения является метод Эйлера. Метод основан на разложении искомой функции в ряд Тейлора в окрестности точки , являющейся узлом сетки. В этом разложении отбрасываются члены, содержащие производные второго и более высоких порядков.
(3)
Заменим значения функции в узлах значениями сеточной функции . , то значение первой производной в узлах сетки . Допустим, узлы сетки являются равноотстоящими, т.е. . Шаг изменения аргумента определяется промежутком, в котором находится решение и количеством требуемых значений функции. Если X правая граница исследуемого промежутка значений аргумента, а n - количество значений функции, то шаг . Если внутри отрезка функция сохраняет постоянное значение, то , где - значение искомой функции в точке или . Повторяя этот алгоритма получим последовательные значения функции Соотношения имеют рекуррентный вид и представляют собой разностную схему метода Эйлера. Значения сеточной функции в любом узле вычисляются по значению в предыдущем узле. Метод Эйлера относится к одношаговым.
|
|
Интегральная кривая имеет вид ломаной линии с вершинами в точках .
При решении задачи Коши методом Эйлера выбирается начальное приближение
, где , (4)
а затем это значение уточняется по формуле (5)
Пример. Решить задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка на отрезке с шагом 0,1 при начальном условии .
Вычисления проводить с четырьмя десятичными знаками.
Решение.
Используем для первичной оценки значения функции формулу
, (6)
а для уточнения - формулу
. (7)
, (8) (9)
Последовательность вычислений:
1. Подставив начальные значения в выражение (8), получим значение
и запишем его в столбец 4 таблицы.
2. Найдем грубую оценку и запишем в столбец 5.
3. Подставим значения в (9) получим
, запишем в столбец 7.
4.Найдем точное значение и запишем в столбец 8.
5. Перезаписываем полученное значение в столбец 3 в строку, соответствующему следующему значению аргумента и теперь оно является исходным значение для расчета на следующем шаге.
6. Повторяем пп. 1-5 до полного заполнения таблицы.
Таблица 1
оценка | Точное Значение | ||||||
0,3 | 0,5000 | 0,9895 | 0,0989 | 0,5989 | 1,1467 | 0,6068 | |
0,4 | 0,6068 | 1,1589 | 0,1159 | 0,7227 | 1,3438 | 0,7319 | |
0,5 | 0,7319 | 1,3581 | 0,1358 | 0,8678 | 1,5755 | 0,8786 | |
0,6 | 0,8786 | 1,5923 | 0,1592 | 1,0379 | 1,8478 | 1,0506 | |
0,7 | 1,0506 | 1,8676 | 0,1868 | 1,2374 | 2,1678 | 1,2524 | |
0,8 | 1,2524 | 2,1910 | 0,2191 | 1,4715 | 2,5436 | 1,4891 | |
0,9 | 1,4891 | 2,5709 | 0,2571 | 1,7462 | 2,9850 | 1,7669 | |
1,7669 | 3,0170 | 0,3017 | 2,0686 | 3,5031 | 2,0929 | ||
1,1 | 2,0929 | 3,5406 | 0,3541 | 2,4470 | 4,1111 | 2,4755 | |
1,2 | 2,4755 | 4,1551 | 0,4155 | 2,8910 | 4,8243 | 2,9245 | |
1,3 | 2,9245 |
В результате расчета получим таблицу значений функции, удовлетворяющих исходному дифференциальному уравнению.
|
|
0,3 | 0,5000 |
0,4 | 0,6068 |
0,5 | 0,7319 |
0,6 | 0,8786 |
0,7 | 1,0506 |
0,8 | 1,2524 |
0,9 | 1,4891 |
1,7669 | |
1,1 | 2,0929 |
1,2 | 2,4755 |
1,3 | 2,9245 |
Существует модификация метода, которая называется методом Эйлера с уточнением и содержит вместо одного три приближения. Вычисления продолжаются до тех пор, пока два последовательных приближения не совпадут.
Пример. Используя метод Эйлера с уточнением, составить таблицу приближенных значений интеграла дифференциального уравнения , удовлетворяющего начальным условиям на отрезке . Значение шага взять равным 0,1. Все вычисления вести с четырьмя десятичными знаками.
Последовательность вычислений:
1. Значение производной в начальной точке (k=0)
записываем в (графу 4).
2. Вычисляем нулевое приближение для k =0:
и записываем в (графу 5).
3. Значение аргумента для k +1=1 .
4. Первое уточнение для k =0
(графа 6)
(графа 7)
5. Второе уточнение
(графа 8)
(графа 9)
6. Вычисляем производную, соответствующую полученному уточненному значению
(графа 10)
, следовательно, переходим к следующей итерации для k =1.
7. Приняв k =1 и повторяем вычисления в соответствии с пп 1-6.
Результаты вычислений представлены в таблице 2.
yk +1(0) | yk +1(1) | fk +1(1) | yk +1(2) | fk +1(2) | |||||
0,4 | 2,2000 | 1,3822 | 2,3382 | 1,4554 | 2,3419 | 1,4545 | 2,3418 | 1,4545 | |
0,5 | 2,3418 | 1,4545 | 2,4873 | 1,5135 | 2,4902 | 1,5125 | 2,4902 | 1,5125 | |
0,6 | 2,4902 | 1,5125 | 2,6414 | 1,5565 | 2,6436 | 1,5556 | 2,6436 | 1,5556 | |
0,7 | 2,6436 | 1,5556 | 2,7992 | 1,5847 | 2,8006 | 1,5840 | 2,8006 | 1,5840 | |
0,8 | 2,8006 | 1,5840 | 2,9590 | 1,5993 | 2,9597 | 1,5989 | 2,9597 | 1,5989 | |
0,9 | 2,9597 | 1,5989 | 3,1196 | 1,6019 | 3,1198 | 1,6018 | 3,1198 | 1,6018 | |
3,1198 | 1,6018 | 3,2799 | 1,5948 | 3,2796 | 1,5951 | 3,2796 | 1,5951 | ||
1,1 | 3,2796 | 1,5951 | 3,4391 | 1,5805 | 3,4384 | 1,5810 | 3,4384 | 1,5810 | |
1,2 | 3,4384 | 1,5810 | 3,5965 | 1,5613 | 3,5955 | 1,5621 | 3,5956 | 1,5621 | |
1,3 | 3,5956 | 1,5621 | 3,7518 | 1,5397 | 3,7506 | 1,5406 | 3,7507 | 1,5406 | |
1,4 | 3,7507 | 1,5406 |