Аксиоматический метод

При аксиоматическом построении теоретического знания сначала задается набор исходных положений, не требующих доказательства (по крайней мере, в рамках данной системы знания). Эти положения называются аксиомами или постулатами (см.: Аксиома). Затем из них по определённым правилам строится система выводных предложений. Совокупность исходных аксиом и выведенных на их основе предложений образует аксиоматически построенную теорию. Аксиомы — это утверждения, доказательство истинности которых не требуется. Логический вывод позволяет переносить истинность аксиом на выводимые из них следствия. Фиксация определённых правил вывода позволяет упорядочить процесс рассуждения при развёртывании аксиоматической системы, сделать это рассуждение более строгим и корректным. Тем самым аксиоматический метод облегчает организацию и систематизацию научного знания и служит средством построения развитой научной теории. Наиболее широко аксиоматический метод используется в математике. Он применяется и в эмпирических науках, но с учетом ряда особенностей, связанных с опытной проверкой теории (см.: Аксиоматический метод).

Одной из первых и успешных попыток применения аксиоматического метода в науке была геометрия Евклида. Опираясь на пять исходных аксиом (постулатов), Евклид развернул систему доказательства целого ряда теорем, сводя более сложные положения геометрии к интуитивно ясным и простым представлениям, истинность которых не вызывала сомнения. Геометрия Евклида длительное время оставалась образцом теоретического знания и рассматривалась как идеал построения теоретических систем. В соответствии с этим идеалом создавались теории в других областях научного знания.

Аксиоматический метод развивался по мере развития науки. «Начала» Евклида были первой стадией его применения, которая получила название содержательной аксиоматики. Аксиомы вводились здесь на основе уже имеющегося опыта и выбирались как интуитивно очевидные положения. Правила вывода в этой системе также рассматривались как интуитивно очевидные и специально не фиксировались. Все это накладывало определённые ограничения на содержательную аксиоматику. Во-первых, аксиоматическая система строилась только относительно уже известной в опыте области объектов, заданной заранее, до построения теории (отсюда требования интуитивной очевидности аксиом). Во-вторых, сравнительно слабая разработка техники логического вывода приводила к дефектам в доказательстве (в Евклидовой геометрии, например, многие теоремы бы ли доказаны нестрого, что было выявлено в последующем развитии математики).

Все эти ограничения содержательно аксиоматического подхода были преодолены последующим развитием аксиоматического метода, когда был совершён переход от содержательной к формальной и затем к формализованной аксиоматике. При формальном построении аксиоматической системы уже не ставится требование выбирать только интуитивно очевидные аксиомы, для которых заранее задана область характеризуемых ими объектов. Аксиомы вводятся формально как описание некоторой системы отношений (не связанных жёстко только с одним конкретным видом объектов); термины, фигурирующие в аксиомах, первоначально определяются только через их отношение друг к другу. Тем самым аксиомы в формальной системе рассматриваются как своеобразные определения исходных понятий (терминов). Другого, независимого, определения указанные понятия первоначально не имеют. Последующее дедуктивное выведение следствий из аксиом позволяет получить систему высказываний, которая рассматривается в качестве некоторой обобщённой теории. Такая теория может быть использована для характеристики уже не одной, а нескольких предметных областей действительности. Нужно только отыскать правила, позволяющие сопоставлять основные термины, входящие в аксиомы, признакам соответствующих объектов, а сами аксиомы рассматривать как характеристику связей между этими признаками. Отыскание таких правил соотнесения аксиом формально построенной системы с той или иной предметной областью называется интерпретацией.

В процессе интерпретации исходные понятия теории получают дополнительные определения (кроме тех, которые задавались их связями в аксиомах). За счёт этого аксиоматическая система превращается в конкретную теорию определённой области действительности. Если формальная аксиоматическая система создается на базе содержательной, то у неё с самого начала имеется естественная интерпретация, то есть та предметная область, которая описывается и объясняется содержательной теорией. Но, кроме этого, формальная система приобретает новые интерпретации. В этом заключается одна из важных эвристических функций формального подхода к построению аксиоматической теории. Он позволяет создавать теоретическую структуру до того, как выявлена соответствующая ей область, и затем отыскивать указанную область под заданную теорию. Тем самым использование формальной аксиоматики значительно расширяет прогностические функции познания. Переход к формализованным системам открыл новые возможности построения научных теорий большой степени общности.