Устойчивость систем

При моделировании экосистем исследуются системы уравнений вида

Поведение системы можно представить с помощью множества траекторий в n-мерном пространстве, координатами которого выступают переменные системы (например, плотность видов, входящих в систему). Такое пространство называется фазовым. Тогда состояние системы в данный момент времени представляется в виде точки в этом пространстве.

Каждой точке фазового пространства можно поставить в соответствие вектор или стрелку, указывая направление движения системы. Соединив вектора друг с другом получим траектории, которые дают представление о поведении системы в течение длительного времени.

Точка покоя (положительного равновесия) – точка, с которой связан вектор, имеющий нулевую длину. Если система в данный момент времени находится в точке покоя, то она останется в ней и в следующий момент времени.

Точка покоя может быть устойчивой и неустойчивой.

Если система, будучи выведенной из положения равновесия неким малым возмущением, вновь возвращается в это положение, то такое положение равновесия называется устойчивым (или, точнее, локально устойчивым).

Если же система при этом начнет удаляться от первоначального положения, то такое положение равновесия называется неустойчивым.

В случае, когда система из любого начального положения движется к одной определенной точке покоя, это есть глобально устойчивая точка покоя.

Фазовый портрет