Формула Бернулли

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, то вероятность Р_m,n того, что событие А наступит m раз в n независимых испытаниях, равна

Где .

□ Пусть и - соответственно появление и непоявление события А в i -ом испытании (i = 1,2,...,n), а - событие, состоящее в том, что в n независимых испытаниях событие А появилось m раз.

Представим событие через элементарные события .

Например, при n = 3, m = 2 событие ,

т.е. событие А произойдет 2 раза в 3 испытаниях, если оно произойдет в l-м и 2-м испытаниях (и не произойдет в 3-м), или в l-м и 3-м (и не произойдет во 2-м), или произойдет во 2-м и 3-м (и не произойдет в l-м).

В общем виде

,

Т.е. каждый вариант появления события Вm (каждый член суммы) состоит из m появлений события А и n-m непоявлений, т.е. из m событий А и из n-m событий с различными индексами.

Число всех комбинаций (слагаемых суммы) равно числу способов выбора из n испытаний m, в которых событие А произошло, т.е. числу сочетаний . Вероятность каждой такой комбинации (каждого варианта появления события Вm) по теореме умножения для независимых событий равна , т.к. , а , i = 1,2,...,n. В связи с тем, что комбинации между собой несовместны, по теореме сложения вероятностей получим

.■

8. Локальная теорема Муавра-Лапласа, условия ее примени­мости. Свойства функции Дх). Пример.

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от О и 1, то вероятность Р_m,n того, что событие А произойдет m раз в n независимых испытаниях при достаточно большом числе n, приближенно равна:

где Р - вероятность осуществления события в отдельном испытании, q - вероятность неосуществления события в отдельном испытании, n – кол-во испытаний.

Где - функция Гаусса. И

Чем больше n, тем точнее приближенная формула. Приближенные значения вероятности Р_m,n на практике используются как точные при npq порядка двух и более десятков, Т.е. при условии npq ≥ 20.

Для упрощения расчетов, связанных с применением формулы, составлена таблица значений функции f(x). Пользуясь этой таблицей, необходимо иметь в виду свойства функции f(х).

1. Функция является четной, т.е. f(-x) = f(x).

2. Функция f(x) - монотонно убывающая при положительных значениях х, причем при х → ∞ f(x) → 0.

(Практически можно считать, что уже при х > 4 f(x) ≈ 0.

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Найти вероятность того, что из 400 семей 300 имеют холодильники.

Решение. Вероятность того, что семья имеет холодильник, равна р = 80/100 = 0,8. Т.к. n = 100 достаточно велико (условие npq = 100·0,8(1-0,8)=64 ≥ 20 выполнено), то применяем локальную формулу Муавра-Лапласа.

Вначале определим по формуле : .

Тогда по формуле : .

(значение f(2,50) найдено по табл.). Весьма малое значение вероятности Р₃₀₀,₄₀₀ не должно вызывать сомнения, т.к. кроме события «ровно 300 семей из 400 имеют холодильники» возможно еще 400 событий: «0 из 400», «1 из 400»,..., «400 из 400» со своими вероятностями. Все вместе эти события образуют полную группу, а значит, сумма их вероятностей равна 1.

Пусть в условиях примера необходимо найти вероятность того, что от 300 до 360 семей (включительно) имеют холодильники. В этом случае по теореме сложения вероятность искомого события

.

9. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее примени­мости. Пример.

Предположим, что мы хотим вычислить вероятность Р_m,n появления события А при большом числе испытаний n, например, Р_300,500. По формуле Бернулли:

Ясно, что в этом случае непосредственное вычисление по формуле Бернулли технически сложно, тем более если учесть, что сами р и q - числа дробные. Поэтому возникает естественное желание иметь более простые приближенные формулы для вычисления при больших n. Такие формулы, называемые, асимптотическими, существуют и определяются теоремой Пуассона, локальной и интегральной теоремами Муавра-Лапласа. Наиболее простой из них является теорема Пуассона.

Теорема. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании стремится к нулю (р → 0) при неограниченном увеличении числа n испытаний (n → 0), причем произведение nр стремится к постоянному числу λ(nр → λ), то вероятность Рm,n того, что событие А появится m раз в n независимых испытаниях, удовлетворяет предельному равенству:

□ По формуле Бернулли или, учитывая, что , т.е. при достаточно больших n и .

Т.к. , и , то .■

Строго говоря, условие теоремы Пуассона р → 0 при n → ∞, так что nр → λ, противоречит исходной предпосылке схемы испытаний Бернулли, согласно которой вероятность наступления события в каждом испытании р = const. Однако, если вероятность р - постоянна и мала, число испытаний n - велико и число λ = nр - незначительно (будем полагать, что λ = np ≤ 10), то из предельного равенства вытекает приближенная формула Пуассона:

.

Пример. На факультете насчитывается 1825 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения одновременно четырех студентов факультета?

Решение. Вероятность того, что день рождения студента 1 сентября, равна р = 1/365. Т.к. р = 1/365 - мала, n = 1825 - велико и λ = nр = 1825·(1/365) = 5 ≤ 10, то применяем формулу Пуассона:

: (по табл.)

10. Интегральная теорема Муавра-Лапласа и условия ее применимости. Функция Лапласа Ф(х) и ее свойства. Пример.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления события А в n независимых испытаниях заключено в пределах от а до b (включительно), при достаточно большом числе n приближенно равна

,

Где - функция (или интеграл вероятностей) Лапласа;

, .

Формула называется интегральной формулой Муавра­Лапласа. Чем больше n, тем точнее эта формула. При выполнении условия npq ≥ 20 интегральная формула , так же как и локальная, дает, как правило, удовлетворительную для практики погрешность вычисления вероятностей.

Функция Ф(х) табулирована (см. табл.). Для применения этой таблицы нужно знать свойства функции:

1. Функция Ф(х) нечетная, Т.е. Ф(-х) = -Ф(х).

2. Функция Ф(х) монотонно возрастающая, причем при х → +∞ Ф(х) → 1 (практически можно считать, что уже при х > 4 Ф(х) ≈ 1).

Пример. В некоторой местности из каждых 100 семей 80 имеют холодильники. Вычислить вероятность того, что от 300 до 360 (включительно) семей из 400 имеют холодильники.

Решение. Применяем интегральную теорему Муавра­Лапласа (npq = 64 ≥ 20). Вначале определим:

,

.

Теперь по формуле , учитывая свойства Ф(х), получим

.

(по табл. Ф(2,50) = 0,9876, Ф(5,0) ≈ 1)

11. Следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа (с вы­водом). Примеры.

Рассмотрим следствие интегральной теоремы Муавра­Лапласа.

Следствие. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от 0 и 1, то при достаточно большом числе n независимых испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлений события А отличается от произведения nр не более, чем на величину ε > 0 (по абсолютной величине), т.е. ;

б) частость события А заключена в пределах от α до β (включительно), т.е. , Где , .

в) частость события А отличается от его вероятности р не более, чем на величину Δ > 0 (по абсолютной величине), т.е. .

□ 1) Неравенство равносильно двойному неравенству пр - Е ~ т ~ пр + Е. Поэтому по интегральной формуле :

.

2) Неравенство равносильно неравенству a ≤ m ≤ b при a = nα и b = nβ. Заменяя в формулах и , величины а и b полученными выражениями, получим доказываемые формулы и , .

3) Неравенство равносильно неравенству . Заменяя в формуле , получим доказываемую формулу .

Пример. По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. Найти вероятность того, что из 1000 новорожденных доля (частость) доживших до 50 лет будет: а) заключена в пределах от 0,9 до 0,95; б) будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине)?

Решение. а) Вероятность р того, что новорожденный доживет до 50 лет, равна 0,87. Т.к. n = 1000 велико (условие npq = 1000·0,87·0,13 = 113,1 ≥ 20 выполнено), то используем следствие интегральной теоремы Муавра-Лапласа. Вначале определим:

, . Теперь по формуле :

.

Б) По формуле :

. Так как неравенство равносильно неравенству , полученный результат означает, что практически достоверно, что от 0,83 до 0,91 числа новорожденных из 1000 доживут до 50 лет.

12. Понятие «случайная величина» и ее описание. Дискретная случайная величина и ее закон (ряд) распределения. Независимые случайные величины. Примеры.

Под случайной величиной понимается переменная, которая в рез-те испытания в зав-ти от случая принимает одно из возможного множества своих значений (какое именно - заранее не известно).

Примеры случайных величин: 1) число родившихся детей в течение суток в г. Москве; 2) количество бракованных изделий в данной партии; 3) число произведенных выстрелов до первого попадания; 4) дальность полета артиллерийского снаряда; 5) расход электроэнергии на пр-тии за месяц.

Случайная величина называется дискретной (прерывной), если множество ее значений конечное, или бесконечное, но счетное.

Под непрерывной случайной величиной будем понимать величину, бесконечное несчетное множество значений которой - некоторый интервал (конечный или бесконечный) числовой оси.

Так, в приведенных выше примерах 1-3 имеем дискретные случайные величины (в примерах 1 и 2 - с конечным множеством значений; в примере 3 - с бесконечным, но счетным множеством значений); а в примерах 4 и 5 - непрерывные случайные величины.

Определение. Случайной величиной Х называется функция, заданная на множестве элементарных исходов (или в пространстве элементарных событий), т.е. , где где ω - элементарный исход (или элементарное событие, принадлежащее пространству Ω, т.е. .

Для дискретной случайной величины множество возможных значений случайной величины, т.е. функции , конечно или счетно, для непрерывной - бесконечно и несчетно.

Случайные величины обозначаются прописными буквами латинского алфавита Х,У,Z,..., а их значения - соответствующими строчными буквами х,у,z,....

Определение. Законом распределения случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями.

Про случайную величину говорят, что она «распределена» по данному закону распределения или «подчинена» этому закону распределения.

Для дискретной случайной величины закон распределения м.б. задан в виде таблицы, аналитически (в виде формулы) и графически.

Простейшей формой задания закона распределения дискретной случайной величины Х является таблица (матрица), в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения случайной величины и соответствующие их вероятности, т.е.

х1	х2	…	xi	…	хn
p1	p2	…	pi	…	pn

Или .

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины.

События Х=х₁, Х=x₂,…,Х=x_n, состоящие в том, что в результате испытания случайная величина Х примет соответственно значения х₁, x₂,..., x_n являются несовместными и единственно возможными (ибо в таблице перечислены все возможные значения случайной величины), Т.е. образуют полную группу. Следовательно, сумма их вероятностей равна 1. Т.о., для любой дискретной случайной величины .

Ряд распределения м.б. изображен графически, если по оси абсцисс откладывать значения случайной величины, а по оси ординат - соответствующие их вероятности. Соединение полученных точек образует ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не меняется от того, какие возможные значения приняла другая величина. Так, если дискретная случайная величина Х может принимать значения x_i (i = 1, 2,..., n), а случайная величина У - значения y_j (j = 1, 2,..., m), то независимость дискретных случайных величин Х и У означает независимость событий Х = x_i и У = y при любых i = 1, 2,..., n и j = 1, 2,..., m. В противном случае случайные величины называются зависимыми.

Например, если имеются билеты двух различных денежных лотерей, то случайные величины Х и Y, выражающие соответственно выигрыш по каждому билету (в денежных единицах), будут независимыми, т.к. при любом выигрыше по билету одной лотереи (например, при Х = x_i) закон распределения выигрыша по другому билету (У) не изменится.

Если же случайные величины Х и У выражают выигрыш по билетам одной денежной лотереи, то в этом случае Х и У являются зависимыми, ибо любой выигрыш по одному билету (Х = x_i) приводит к изменению вероятностей выигрыша по другому билету (У), т.е. к изменению закона распределения У.

13. Математические операции над дискретными случайными ве­личинами и примеры построения законов распределения для КХ, Х'¹, X + К, XV по заданным распределениям независимых случай­ных величин X и У.

Определим математические операции над дискретными случайными величинами.

Пусть даны две случайные величины:

Х:

xi	х1	х2	…	хn
pi	p1	p2	…	pn

У:

уj	y1	y2	…	ym
Pj	p1	p2	…	pm

Произведением kX случайной величины Х на постоянную величину k называется случайная величина, которая принимает значения kx_i с теми же вероятностями р_i (i = 1,2,...,n).

m-й степенью случайной величины Х, т.е. , называется случайная величина, которая принимает значения с теми же вероятностями р_i (i = 1,2,...,n).

Суммой (разностью или произведением) случайных величин Х и У называется случайная величина, которая принимает все возможные значения вида хi+уj (хj-уj или хj·уj), где i = l,2,...,n; j =1,2,...,m, с вероятностями pij того, что случайная величина Х примет значение xi, а у - значение yj:

.

Если случайные величины Х и У независимы, т.е. независимы любые события Х=хi, Y=yj то по теореме умножения вероятностей для независимых событий

.

3амечание. Приведенные выше определения операций над дискретными случайными величинами нуждаются в уточнении: так как в ряде случаев одни и те же значения , , могут получаться разными способами при различных xi, yj с вероятностями pi, pij, то вероятности таких повторяющихся значений находятся сложением полученных вероятностей pi или pij.

Вид операции	Выражение знач. Сл\в	Выр знач вер-ти
		не изм-ся
x²	x²	не изм-ся
x+y
xy

14. Математическое ожидание дискретной случайной величины и его свойства (с выводом). Примеры.

Закон (ряд) распределения дискретной случайной величины дает исчерпывающую информацию о ней, т.к. позволяет вычислить вероятности любых событий, связанных со случайной величиной. Однако такой закон (ряд) распределения бывает трудно обозримым, не всегда удобным (и даже необходимым) для анализа. Рассмотрим, например, задачу.

Задача. Известны законы распределения случайных величин Х и У - числа очков, выбиваемых l-м и 2-м стрелками.

Необходимо выяснить, какой из двух стрелков стреляет лучше.

Рассматривая ряды распределения случайных величин Х и У, ответить на этот вопрос далеко не просто из-за обилия числовых значений. К тому же у первого стрелка достаточно большие вероятности (например, больше 0,1) имеют крайние значения числа выбиваемых очков (Х = 0;1 и Х = 9;10), а у второго стрелка - промежуточные значения (У = 4;5;6) (см. многоугольники распределения вероятностей Х и У на рис).

Очевидно, что из двух стрелков лучше стреляет тот, кто в среднем выбивает большее количество очков. Таким средним значением случайной величины является ее математическое ожидание.

Определение. Математическим ожиданием, или средним значением, М(Х) дискретной случайной величины Х называется сумма произведений всех ее значений на соответствующие им вероятности:

Обратим внимание на механическую интерпретацию математического ожидания. Если предположить, что каждая материальная точка с абсциссой xi имеет массу, равную pi (i = 1,2,...,n), а вся единичная масса распределена между этими точками, то математичекое ожидание представляет собой абсциссу центра масс системы материальных точек. Так, для систем материальных точек, соответствующим распределениям Х и У в примере, центры масс совпадают: М(Х) = М(У) = 5,36 (см. рис.).

Если дискретная случайная величина Х принимает бесконечное, но счетное множество значений x1,x2,...,xn,..., то математическим ожиданием, или средним значением, такой дискретной случайной величины называется сумма ряда (если он абсолютно сходится):

Так как данный ряд может и расходиться, то соответствующая случайная величина может и не иметь математического ожидания. Например, случайная величина Х с рядом распределения

не имеет математического ожидания, ибо сумма ряда равна ∞. На практике, как правило, множество возможных значений случайной величины распространяется лишь на ограниченный участок оси абсцисс и, значит, математическое ожидание существует.