Формула полной вероятности и формула Байеса

Пусть событие А может появиться вместе с одним из образующих полную группу попарнонесовместных событий Н₁,Н₂…Н_n называемых гипотезами, тогда вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятностей каждой гипотезы на вероятность события А при этой гипотезе

Формула Бейса Пусть имеется полная группа попарнонесовместных гипотез Н₁,Н₂…Н_n с известными вероятностями появления. В результате проведения опыта появилось некоторое события А, требуется переоценить вероятности гипотез при условии, что событие А произошло

8. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.

Рассмотрим случай многократного повторения одного и того же испытания или
случайного эксперимента. Результат каждого испытания будем считать не зависящим
от того, какой результат наступил в предыдущих испытаниях. В качестве результатов
или элементарных исходов каждого отдельного испытания будем различать лишь две
возможности:
1) появление некоторого события А;
2) появление события , (события, являющегося дополнением А)
Пусть вероятность P(A) появления события А постоянна и равна p (0<.p<1).
Вероятность P() события обозначим через q: P() = 1- p=q.

. Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют "независимыми относительно события А"(Событие А имеет одну и ту же вероятность) "Сложное событие"- совмещение нескольких отдельных событий, которые называют "простыми". Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Теорема. Если производится n независимых опытов в каждом из которых событие А появляется с одинаковой вероятностью р, причем то тогда вероятность того, что событие А появится ровно m раз определяется по формуле.

формула Бернули применяется в тех случаях, когда число опытов невелико, а вероятности появления достаточно велики.

9Наивероятнейшее число появления события (вывод неравенства). Вероятность можно рассматривать как функцию целочисленного аргумента m.Существует такое значение аргумента , при котором эта функция принимает наибольшее значение

np-mp>mq+q m(q+p)<np-q, где q+p=1 m<np-q Вывод при таких m при таких m функция возростает. И наоборот при m>np-q

, то есть при таких m функция убывает, то есть действителен один при котором функция достигает max значенияПо смыслу должны выполняться два неравенства

Распишем 2-е неравенство

(9) (продолжение)Наивероятнейшее число появления события при независимых испытаниях:

, - вероятность появления события при одном испытании.