Показательные уравнения

Показательными принято называть уравнения, в которых неизвестное входит только в показатели степеней при постоянных основаниях. Простейшим показательным уравнением является уравнение вида

. (1)

Его решением при , является .

Некоторые показательные уравнения приводятся к виду (1) с помощью равенств:

Многие показательные уравнения решаются методом приведения обеих частей к одному основанию.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. Поскольку , то

Ответ: .

При решении простейших показательных уравнений используется преобразование, состоящее в вынесении общего множителя за скобки.

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Вынося в левой части уравнения выражение за скобки, получаем

Ответ:

Уравнение вида

(2)

может быть решено при помощи логарифмирования обеих частей (это возможно, так как обе части уравнения положительны).

Логарифмируя, получаем уравнение , равносильное уравнению (2).

Пример 3. Решить уравнение .

Решение. Обе части положительны, поэтому можно прологарифмировать его по основанию 5. Получим уравнение

,

равносильное исходному. Таким образом,

.

Ответ: .

Если показательное уравнение имеет вид

(3)

то его решение заменой сводится к решению уравнения вида

,

где – корни уравнения .

Пример 4. Решить уравнение .

Решение. Обозначая , получаем квадратное уравнение

,

корнями которого будут .

Таким образом, решение данного уравнения свелось к решению уравнений .

Второе уравнение решений не имеет, так как при всех допустимых значениях . Из одного уравнения следует другое

Проверкой убеждаемся, что эти корни удовлетворяют исходному уравнению.

Ответ:

Показательные уравнения, основания степеней которых являются последовательными членами геометрической прогрессии, а показатели степеней одинаковы, делением на любой из крайних членов приводятся к уравнениям вида (3).

Пример 5. Решить уравнение .

Решение. Разделим обе части уравнения на . Имеем

.

Обозначая , получаем уравнение , корнями которого будут .

Таким образом, решение уравнения сводится к решению двух простейших показательных уравнений .

Ответ: .

Пример 6. Решить уравнение .

Решение.Область допустимых значений данного уравнения состоит из всех натуральных чисел, больших 1.

Разделив обе части уравнения на и положив , получим уравнение , корни которого .

Таким образом, решение уравнения сводится к решению двух уравнений , которые решений не имеют.

Ответ: нет решений.

Уравнения вида

(4)

с множеством допустимых значений, определяемых условием , логарифмированием обеих частей приводятся к эквивалентному уравнению

. (5)

Последнее уравнение эквивалентно двум уравнениям:

. (6)

Пример 7. Решить уравнение .

Решение. Множество допустимых значений неизвестного данного уравнения . Логарифмируя обе части уравнения по основанию 3 и приводя подобные члены, получаем , которое эквивалентно двум уравнениям:

.

Ответ: .