Логарифмические уравнения

Логарифмическим уравнением называется уравнение, содержащее неизвестную величину под знаком логарифма. Простейшее логарифмическое уравнение

, (1)

с множеством допустимых значений имеет решение .

Логарифмическое уравнение, в котором под знаком логарифма стоит функция ,

(2)

имеет множество допустимых значений , задаваемых неравенством , и эквивалентно уравнению .

К простейшим логарифмическим уравнениям относятся также уравнения вида

, (3)

которые

а) при имеют единственный корень ;

б) при имеют решением любое положительное, отличное от единицы, число;

в) при корней не имеют;

г) при корней не имеют.

Пример 1. Решить уравнение .

Решение. О.Д.З. исходного уравнения определяется системой

Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем их к общему знаменателю. Поэтому исходное уравнение равносильно системе

Число 8 – единственный корень исходного уравнения.

Ответ: .

Если логарифмическое уравнение имеет вид

, (4)

где – некоторая функция, то заменой оно сводится к уравнениям вида (2)

,

где – корни уравнения .

Аналогично решается уравнение вида

(5)

Пример 2. Решить уравнение .

Решение. Обозначим и произведем замену неизвестного в уравнении. Тогда

.

Возвращаясь к прежней переменной, имеем

Ответ: .

Логарифмическое уравнение вида

(6)

эквивалентно уравнению

,

рассматриваемому на множестве допустимых значений , задаваемом системой неравенств

Если в данное уравнение входят логарифмы по разным основаниям, то предварительно необходимо привести все логарифмы к одному основанию.

Пример 3. Решить уравнение

.

Решение. О.Д.З. уравнения определяется системой, решение которой следующее: .

Переходя в уравнении к основанию и используя формулу получаем

,

.

Последнее уравнение на О.Д.З. исходного уравнения равносильно системе

т. е. системе

Таким образом, исходное уравнение равносильно совокупности двух систем:

Первая система имеет решение , вторая – .

Ответ: , .