Модальная логика. Модальности (ранее понимались как «нечто существует и происходит»)в логике впервые были введены Льюисом

Модальности (ранее понимались как «нечто существует и происходит»)в логике впервые были введены Льюисом, в связи со специальной целью построения теории необходимой, или строгой, импликации, логические законы которой находились бы в лучшем соответствии с понятием импликации как отношения, оправдывающего выводимость (чтобы избавиться от парадоксов при выполнении операции «импликация», например, «ложное высказывание имплицирует каждое высказывание» и «истинное высказывание имплицируется любым высказыванием»).

По мысли Лукасевича, модальности выполняют специфические функции в процессе познания и не могут быть замещены никакими иными понятиями. «Модальная логика важна как теория возможности» - писал он[2].

Существуют истинные проблематические высказывания, которые не могли бы быть истинными в качестве ассерторических (т.е. утвердительных) высказываний. Имеются высказывания, которые не могут быть доказаны без введения возможности. Высказывания обоих этих видов выходят за пределы множества тех истин, которые могут быть получены с помощью немодальной логики.

Под модальным высказыванием Лукачевич понимает высказывание, имеющее одну из следующих форм:

1. возможно, что p (Mp);

2. невозможно, что p (Mp);

3. возможно, что не-p (M p);

4. невозможно, что не-p ( M p).

M в данном случае соответствует словам «возможно, что», а p означает некоторое высказывание.

Лукасевич выделяет три группы утверждений, касающихся модальных высказываний и имеющих большую историческую традицию. К первой из них относятся хорошо известные из исто­рии логики утверждения:

(a) Ab oportere ad esse valet consequentia (Правильно заклю­чать от должного к тому, что есть),

(b) Ab esse ad posse valet consequentia (Правильно заключать оттого, что есть, к возможному),

(c) Ab поп posse ad поп esse valet consequentia (Правильно зак­лючать от невозможного к несуществующему).

В качестве типичного представителя первой группы Лукасе­вич избирает утверждение:

I. Если невозможно, что р, то не-р, ~Мр ~р.

Ко второй группе относится менее известное, но представляю­щееся Лукасевичу совершенно очевидным положение Лейбница:

(d) Unumquodque, quando est, oportet esse (Все, что бы то ни
было, когда оно существует, является необходимым).

Это положение нелегко истолковать правильно. Встречающе­еся в нем слово «quando» является не условной, а временной час­тицей. Лукасевич думает, однако, что временная форма перехо­дит в условную, когда в высказываниях, содержащих ссылку на время, указание времени включается в содержание высказываний. Основываясь на этом, он в качестве типичного представителя вто­рой группы модальных утверждений, включающей положение Лейбница и связанные с ним положения, избирает условное выс­казывание:

II. Если предполагается, что не-р, то (в силу этого положения)
невозможно, что р; ~p ~Мр.

Например, то, что я сегодня вечером буду дома, не необходи­мо; но если, однако, я действительно нахожусь вечером дома, то при этом предположении необходимо, что сегодня вечером я дома. Другой пример: если случилось (в какой-то момент t) так, что у меня нет какой-то вещи, то невозможно, чтобы (в этот же момент t) у меня она была.

Эти приводимые Лукасевичем примеры не особенно ясны, так как они не раскрывают ни того, какой смысл имеют слова «необ­ходимо» и «невозможно» в контексте высказываний, содержащих ссылку на время, ни того, как от таких высказываний можно было бы перейти к условным высказываниям, истинностное значение которых не зависело бы от времени их употребления.

Третья группа включает утверждение, основывающееся на аристотелевском понятии «двусторонней» возможности. Соглас­но Аристотелю, некоторые вещи таковы, что могут быть, но мо­гут и не быть. Например, возможно, что плащ будет разрезан на куски, но может быть также, что он не будет разрезан. Понятие двусторонней возможности глубоко укоренено в повседневном мышлении и речи.

Третье утверждение Лукасевича говорит о существовании ис­тинных двусторонне возможных высказываний:

III. Для некоторого р: возможно, что р, и возможно, что не-р; ( р)(Мр& М~р).