Многозадачный характер модальной логики

По мысли Лукасевича, утверждения I-III должны быть тео­ремами всякой логической теории модальностей и их доказуе­мость является одним из критериев правильности такой теории.

Однако присоединение первых двух утверждений к двузнач­ной логике высказываний ведет к тому, что оказываются эквива­лентными друг другу высказывания «p», «возможно, что р», «не­возможно, что не-р», с одной стороны, и высказывания «не-р», «возможно, что не-р», «невозможно, что р», с другой. В результате понятия возможности и необходимости становятся излишними. К этому явно нежелательному следствию приводит принятая сим­волическая формулировка утверждения II. Лукасевичу кажется, однако, что в терминах пропозициональной логики (т.е. логика высказываний), дополнен­ной понятиями «возможно» и «необходимо» это утверждение нельзя выразить удачней

С другой стороны, утверждение III вместе с тезисом прототе­тики (свободная логика, оперирует пустыми высказываниями), справедливым для всех одноаргументных функторов клас­сической логики высказываний:

φр& φ~p φq,

(φ является одноаргументным переменным функтором) дает след­ствие Мр. Оно опять-таки неприемлемо, но данное утверждение нельзя выразить на языке расширенной двузначной логики.

И наконец, одновременное принятие утверждений II и III ведет к противоречию: если бы в соответствии с III оказались для некоторого высказывания α истинными выражения M α и M ~α, то в силу выводимых из II формул M α α и M α были бы истинны­ми также высказывания α и ~α.

Таким образом, если принять утверждение II, надо отбросить утверждение III и согласиться с вырождением модальной логики в немодальную; если приинять III, необходимо отбросить II и принять в качестве следствия Мр. В этой несовместимости двух традиционных утверждений о модальных высказываниях нет ни­чего удивительного. В двузначной логике, к которой они присое­диняются, имеются только четыре одноаргументных функции, ни одна из которых не удовлетворяет ограничениям, накладываемым на функтор М традиционными утверждениями.

Этот результат приводит Лукасевича к мысли, что классичес­кая двузначная логика не может быть основанием для модальной логики. Построение последней требует отказа от принципа дву­значности («каждое высказывание является либо истинным, либо ложным») и введения наряду с истинными и ложными высказы­ваниями также высказываний, имеющих некоторое третье значе­ние, отличное от истины и лжи. Необходима, иными словами, за­мена двузначной логики неклассической трехзначной логикой.

Эти рассуждения, призванные показать неудовлетворитель­ность двузначной логики высказываний в качестве основания модальной логики, Лукасевич поддерживает таким примером. Очевидно, что мое пребывание в Варшаве в полдень 21 декабря будущего года не является сегодня определенным ни в позитив­ном, ни в негативном смысле. Возможно, но не необходимо, что в указанное время я буду в Варшаве. Поэтому, высказывание «Я буду в Варшаве в полдень 21 декабря будущего года» не явля­ется сейчас ни истинным, ни ложным. Если бы оно сейчас было истинно, мое будущее пребывание в Варшаве было бы необходи­мым, что противоречит исходному допущению; если бы это выс­казывание было сегодня ложным, мое пребывание в будущем в Варшаве было бы невозможным, что опять-таки не согласуется с естественным начальным допущением. Рассматриваемое выска­зывание не может быть сегодня ни истинным, ни ложным, оно должно иметь сегодня некоторое третье, промежуточное между истиной и ложью значение. Его Лукасевич обозначает через 1/2 и именует «возможностью».