Разностные схемы для уравнений параболического типа

Одномерное уравнение теплопроводности (уравнение диффузии) является параболическим уравнением в частных производных. Задача состоит в отыскании функции U(x, t), удовлетворяющей в области D={(x, t); } уравнению

(a= Const>0), (1)

начальному условию U(x,0)=f(x) (2)

и краевым условиям первого рода

(3)

Замена переменных приводит уравнение (1) к безразмерному виду

,

поэтому в дальнейшем будем считать a=1.

Построим в области D равномерную прямоугольную сетку с шагом h в направлении x и шагом, t - в направлении t (рис.1).

Обозначим узлы сетки через (x₀,t₀),..., (x_i ,t_n),...,
а приближенные значения функции U(x,, t) в этих узлах - .

Тогда

x_i = ih, i=0, 1,...,n, h=l/n; t_n = nt, n =0, 1,..., m, t = T/m.

1. Явная схема

Погрешность аппроксимации равна о(t/h²).

Условие устойчивости

При использовании простого уравнение теплопроводности явного метода решается последовательным продвижением (маршем) от линии, на которой заданы начальные условия.

Явная схема оказывается устойчивой только при , т.е. при .

Это означает, что вычисления по явной схеме придется вести с очень малым шагом по t, что, конечно, может привести к большим затратам машинного времени.