Разностные схемы для уравнения гиперболического типа

Одномерным волновым уравнением называется следующее гиперболическое уравнение в частных производных:

, (1) 0<x<a, 0<t<T (1)

Это уравнение описывает распространение звуковых волн в однородной среде со скоростью с.

Существует уравнение первого порядка, свойства решений которого близки к свойствам решения уравнения (1):

(2)

Это уравнение называют одномерным линейным уравнение переноса, описывающим распространение волны со скоростью С вдоль оси X.

Точное аналитическое решение уравнения (2) с начальными данными

U(x,0)=f(x),

имеет вид

Рассмотрим конечно-разностные схемы для решения одномерного линейного волнового уравнения первого порядка.

1. Явные методы Эйлера.

Погрешность аппроксимации: O(t, h) и O(t, h²) соответственно.

Разностные схемы явные, так как в каждое разностное уравнение входит лишь одно неизвестное

Анализ устойчивости разностных схем с помощью спектрального признака приводит к тому, что они обе абсолютнонеустойчивы и, следовательно, для численного решения волнового уравнения непригодны.