Задача Д-1. Телу массой m сообщена начальная скорость направленная вверх по наклонной плоскости, составляющей угол α с горизонтом, на тело действует сила , направленная в туже сторону. Зная закон изменения силы и коэффициентом трения скольжения , определить скорость тела в моменты времени и проверить полученный результат для момента времени с помощью дифференцированного уравнения движения.
Дано: |
Решение:
По теореме об изменении количества движения имеем
,
где - проекции скорости в начале участка на оси координат, - проекции скорости в момент времени , (очевидно ).
- сумма проекций импульсов сил, действующих на тело, на ось OX;
- сумма проекций импульсов сил на ось OY.
=>
Обозначим , тогда уравнение принимает вид:
.
Полученное уравнение можно применит к каждому участку если считать, что - скорость тела в начале рассматриваемого участка, -время, отсчитываемое от начала рассматриваемого участка.
1) Участок №1
Здесь - зависимость силы F от времени t. Но при t=5 с , то есть
|
|
Находим импульс силы F.
Уравнение принимает вид:
Проверим, возможно ли остановить тела на этом участке. Находим дискриминант квадратного трехчлена следовательно, при любых t и значит останов невозможен. t=5c находим
2) Участок №2
Здесь при
.
Уравнение имеет вид: .
Здесь очевидно VX>0 при любых t, т.е. останов невозможен. При t=4c. Находим:
.
3) Участок №3
Здесь
.
Уравнение имеет вид:
.
Дифференциальное уравнение движения тела на первом участке имеет вид:
,
Делим на m и вводим обозначение Получаем
Интегрируя в пределах от 0 до t, получаем уравнение:
или
.