Упражнения и задачи

Задача 6.1

Для определения среднего возраста 1200 студентов факультета необходимо провести выборочное обследование методом случайного бесповтороного отбора. Предварительно установлено, что среднее квадратическое отклонение возраста студентов равно 10 годам . Сколько студентов нужно обследовать, чтобы с вероятностью 0,954 средняя ошибка выборки не превышала 3 года?

Задача 6.2

В цехе предприятия 10 бригад рабочих. С целью изучения их производительности труда была осуществлена 20%-ная серийная выборка, в которую попали 2 бригады. В результате обследования установлено, что средняя выработка рабочих в бригадах составила 4,6 и 3 тонн. С вероятностью 0,997 определить пределы, в которых будет находиться средняя выработка рабочих цеха.

Задача 6.3

Методом собственно случайной 10 %-ной выборки обследована жирность молока у 100 коров. По данным выборки средняя жирность молока оказалась равной 3,64%, а дисперсия составила 2,56. Определить: 1) среднюю ошибку выборки; 2) с вероятностью, равной 0,954, предельные значения генеральной средней

Задача 6.4

Как изменится величина ошибки бесповторной выборки, если объем увеличится с 5 до 25%.

Задача 6.5

Для определения среднего возраста мужчин, вступающих в брак, в районе была проведена 5%-ная типическая выборка с отбором единиц пропорционально численности типических групп. Внутри групп применялся механический отбор.

Данные по выборке представлены в таблице 6.6:

Таблица 6.6 – Исходные данные

Соц. группа	Число мужчин, n_i	Ср. возраст, x_i	Среднее квадратическое отклонение,	Доля мужчин, вступивших во второй брак, %, w_i
Рабочие
Служащие

С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будет находиться средний возраст мужчин, вступающих в брак, и долю мужчин, вступающих в брак во второй раз.

Задача 6.6

На основе выборочного обследования методом простой случайной выборки 600 рабочих одной из отраслей промышленности установлено (повторный отбор), что удельный вес численности женщин составил 0,4. С какой вероятностью можно утверждать, что при определении доли женщин, занятых в этой отрасли, допущена предельная ошибка выборки, не превышающая 5%?

Задача 6.7

Среди выборочно обследованных 1000 семей региона по уровню дохода (выборка 2%-ная, механическая) малообеспеченных оказалось 300 семей. Требуется с вероятностью 0,997 определить долю малообеспеченных семей в регионе.

Задача 6.8

Сколько рабочих завода нужно обследовать в порядке случайной повторной выборки для определения средней заработной платы, чтобы с вероятностью, равной 0,954, можно было бы гарантировать ошибку в размере не более 5 рублей? Предполагаемое среднее квадратическое отклонение

Задача 6.9

Для определения урожайности зерновых культур проведено выборочное обследование 100 хозяйств региона различных форм собственности, в результате которого получены сводные данные (табл. 6.7):

Таблица 6.7 – Исходные данные

Хозяйства	Кол-во обследованных хозяйств (f)	Средняя урожайность, ц/га (x_i)	Дисперсия урожайности в каждой группе, ()
Коллективные
ОАО
Фермерские
Итого

Необходимо с вероятностью 0,954 определить предельную ошибку выборочной средней и доверительные пределы средней урожайности зерновых культур по всем хозяйственным регионам.

Задача 6.10

Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке было произведена 5%-ая механическая выборка, в которую попало 100 счетов. В результате обследования установлено, что средний срок пользования краткосрочным кредитом – 30 дней при среднем квадратическом отклонении 9 дней. В пяти счетах срок пользования кредитом превышал 60 дней. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будут находиться срок пользования краткосрочным кредитом в генеральной совокупности и доля счетов со сроком пользования краткосрочным кредитом более 60 дней.

Задача 6.11

По городской телефонной сети в порядке случайной выборки (механической) отбор произвели 100 наблюдений и установили среднюю продолжительность одного телефонного разговора 5 мин., при среднем квадратическом отклонении 2 мин.

Какова вероятность того, что ошибка репрезентативности при определении средней продолжительности телефонного разговора не превысит 18 сек.?

Задача 6.12

Для определения зольности угля в порядке случайной выборки было обследовано 100 проб угля. В результате обследования установлено, что средняя зольность угля в выборке 16%, среднее квадратическое отклонение 5%. В десяти пробах зольность угля составила более 20%. С вероятностью 0,954 определить пределы, в которых будут находиться средняя зольность угля в месторождении и доля угля с зольностью более 20%.

Задача 6.13

На предприятии в порядке случайной бесповторной выборки было опрошено 100 рабочих из 1000 и получены следующие данные об их доходе за октябрь:

Месячный доход, руб. Число рабочих

6000-10000 12

10000-14000 60

14000-18000 20

18000-22000 8

Определить: 1) среднемесячный размер дохода у работников данного предприятия, гарантируя результат с вероятностью 0,997; 2) долю рабочих предприятия, имеющих месячный доход 14000 руб. и выше, гарантируя результат с вероятностью 0,954; 3) необходимую численность выборки при определении среднего месячного дохода работников предприятия, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка выборки не превышала 500 руб.; 4) необходимую численность выборки при определении доли рабочих с размером месячного дохода 14000 руб. и выше, чтобы с вероятностью 0,954 предельная ошибка не превышала 4%.

Задача 6.14

В каком соотношении находится (при прочих равных условиях) ошибки случайной повторной и случайной бесповторной выборок при 10% отборе?

Задача 6.15

Из партии изготовленных изделий общим объемом 2000 единиц проверено посредством механической выборки 30% изделий, из которых бракованными оказались 12 изделий.

Определить: 1) долю бракованных изделий по данным выборки; 2) пределы, в которых находится процент бракованных изделий, для всей партии (с вероятностью 0,954)

Задача 6.16

По данным выборочного обследования 10 000 пассажиров пригородного сообщения средняя дальность поездки пассажира составила 35,5 км, а среднее квадратическое отклонение – 16,0 км.

Определить: 1) пределы средней дальности поездки пассажиров с вероятностью 0,954; 2) как изменится предельная ошибка выборки, если вероятность будет принята равной 0,997?

Задача 6.17

Объем выборки увеличился в 2 раза. Определить, как изменится ошибка простой случайной повторной выборки.

Задача 6.18

Какова должна быть численность механической выборки для определения доли служащих, прошедших повышение квалификации по использованию вычислительной техники, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка репрезентативности не превышала 10%? Общая численность служащих предприятия составляет 324 человека.

Задача 6.19

Сколько фирм необходимо проверить налоговой инспекции района, чтобы ошибка доли фирм, несвоевременно уплативших налоги, не превысила 5%? По данным предыдущей проверки, доля таких фирм составила 32%. Доверительную вероятность принять равной 0,954.

Контрольные вопросы

1. Сущность и значение выборочного метода как разновидности несплошного статистического наблюдения.

2. Случаи использования выборочного метода.

3. Проявление закона больших чисел и теории вероятности в выборочном обследовании.

4. Различие повторного и бесповторного отбора.

5. Преимущества выборочного метода как разновидности несплошного статистического наблюдения.

6. Недостатки выборочного метода как разновидности несплошного статистического наблюдения.

7. Виды ошибок в данных выборочного наблюдения.

8. Средняя и предельная ошибки выборки.

9. Показатель доли, расчет средней и предельной ошибок для доли, определение доверительных интервалов.

10. Теоретическое и практическое обоснование объема выборки.

11. Характеристика простой случайной выборки, формулы расчета предельных ошибок и объема выборки.

12. Расслоенная (типическая) выборка, формулы расчета предельных ошибок и объема выборки.

13. Механическая выборка, формулы расчета предельных ошибок и объема выборки.

14. Серийная (гнездовая) выборка, формулы расчета предельных ошибок и объема выборки.

15. Характеристика малой и комбинированной выборок.

Тема №7

Статистическое изучение динамики социально-экономических явлений

и процессов

7.1 Ряды динамики и их классификация

Ряды динамики представляют собой ряды изменяющихся во времени значений статистического показателя, расположенного в хронологическом порядке.

Составными элементами ряда динамики являются показатели уровней ряда и периоды времени (годы, кварталы, месяцы, сутки) или моменты (даты) времени.

Уровни ряда обычно обозначаются через "У", периоды времени или моменты через "t ".

Ряд динамики, хронологический ряд, динамический ряд, временной ряд – это последовательность упорядоченных во времени числовых показателей, характеризующих уровень развития изучаемого явления. Всякий ряд динамики включает, следовательно, два обязательных элемента: во-первых, время и, во-вторых, конкретное значение показателя, или уровень ряда. Ряды динамики различаются по следующим признакам:

1. По времени – интервальные и моментные ряды. Интервальный ряд динамики – последовательность, в которой уровень явления относится к результату, накопленному или вновь произведенному за определенный интервал времени (например за сутки, месяц, годи. т. п.). Таковы, например, ряды показателей объема продукции по месяцам года, число отработанных человеко-дней по отдельным периодам и т.д. Если же уровень ряда показывает фактическое наличие изучаемого явления в конкретный момент времени (на начало месяца, квартала, года и т. п.), то совокупность уровней образует моментный ряд динамики. Примерами моментных рядов могут быть последовательности показателей численности населения на начало года, величины запаса какого-либо материала на начало периода и т.д.

Особенность интервального ряда состоит в том, что его уровни характеризуют собой суммарный итог какого-либо явления за определенный отрезок времени. Они зависят от продолжительности этого периода времени, их можно суммировать, как не содержащие повторного счета.

Особенность моментного ряда состоит в том, что его уровни, как правило, содержат элементы повторного счета, например число вкладов населения, учитываемых за январь, существует и в настоящее время, являясь единицами совокупности в июне. В результате чего суммировать уровни ряда не целесообразно.

2. По форме представления уровней – ряды абсолютных, относительных и средних величин (табл. 7.1 – 7.3).

3. По расстоянию между датами или интервалом времени выделяют полные и неполные хронологические ряды.

Полные ряды динамики имеют место, когда даты регистрации или окончания периодов следуют друг за другом с равными интервалами. Это равноотстоящие ряды динамики (см. табл. 7.1 и 7.2). Неполные – когда принцип равных интервалов не соблюдается (см. табл. 7.3).

Таблица 7.1- Численность постоянного населения Брянской области (на конец года),

тыс. чел.


Численность постоянного населения (на конец года), тыс. человек	1361,1	1346,5	1331,4	1317,6	1308,5

Таблица 7.2 - Общие коэффициенты рождаемости в Брянской области (число родившихся на 1000 человек населения)


Всего по области	9,1	9,2	9,0	9,1	10,2

Таблица 7.3 - Среднемесячная начисленная заработная плата работающих на предприятиях и в организациях в Брянской области


Среднемесячная начисленная заработная плата работающих, рублей	3316,0	5235,3	6533,5	8188,9

4. В зависимости от наличия основной тенденции изучаемого процесса ряды динамики подразделяются на стационарные и нестационарные. Если математическое ожидание значения признака и дисперсия постоянны, не зависят от времени, процесс считается стационарным и ряды динамики также называются стационарными. Экономические и социальные процессы во времени обычно не являются стационарными, так как содержат основную тенденцию развития, но их можно преобразовать в стационарные путем исключения тенденций.

Чтобы о развитии явления можно было получить представление при помощи числовых уровней ряды динамики должны приводиться в сопоставимый вид.

Статистические данные должны быть сопоставимы по территории, кругу охватываемых объектов, единицам измерения, времени регистрации, ценам, методологии расчета. Сопоставимость по территории означает, что данные по странам и регионам, границы которых изменились, должны быть пересчитаны в старых пределах. Сопоставимость по кругу охватываемых объектов означает сравнение совокупностей с равным числом элементов. Территориальная и объемная сопоставимость обеспечивается смыканием рядов динамики, при этом либо абсолютные уровни заменяются относительными, либо делается пересчет в условные абсолютные уровни. Не возникает особых сложностей при обеспечении сопоставимости данных по единицам измерения; стоимостная сравнимость достигается системой сопоставимых цен.

Числовые уровни рядов динамики должны быть упорядоченными во времени. Не допускается анализ рядов с пропусками отдельных уровней, если же такие пропуски неизбежны, то их восполняют условными расчетными значениями.

7.2 Показатели анализа рядов динамики

При изучении явления во времени перед исследователем встает проблема описания интенсивности изменения и расчета средних показателей динамики. Решается она путем построения соответствующих показателей. Для характеристики интенсивности изменения во времени такими показателями будут:

- абсолютный прирост,

- темпы роста,

- темпы прироста,

- абсолютное значение одного процента прироста.

Расчет показателей динамики представлен в таблице 7.4.

Таблица 7.4 – Алгоритм расчета показателей динамики

Показатель	Базисный	Цепной
Абсолютный прирост	Y_i-Y₀	Y_i-Y_i-1
Коэффициент роста (К_р)	Y_i: Y₀	Y_i: Y_i-1
Темп роста (Т_р)	(Y_i: Y₀)×100	(Y_i: Y_i-1)×100
Коэффициент прироста (К_пр)
Темп прироста (Т_пр)
Абсолютное значение одного процента прироста (А)

В случае, когда сравнение проводится с периодом (моментом) времени, начальным в ряду динамики, получают базисные показатели. Если же сравнение производится с предыдущим периодом или моментом времени, то говорят о цепных показателях.

Система средних показателей динамики включает:
средний уровень ряда,
средний абсолютный прирост,
средний темп роста,
средний темп прироста.

Средний уровень ряда – это показатель, обобщающий итоги развития явления за единичный интервал или момент из имеющейся временной последовательности. Расчет среднего уровня ряда динамики определяется видом этого ряда и величиной интервала, соответствующего каждому уровню.

Для интервальных рядов с равными периодами времени средний уровень рассчитывается следующим образом:

(7.1)

где n– общая длина временного ряда или общее число равных временных отрезков, каждому из которых соответствует свой уровень Y_i (1 = 1, 2,..., n).

Для моментных рядов с равностоящими уровнями средний уровень рассчитывается в предположении, что в пределах каждого периода, разделяющего моментные наблюдения, развитие явления происходило по линейному закону. Тогда общий средний уровень вычисляется по формуле средней хронологической:

(7.2)

Средний абсолютный прирост показывает, на сколько единиц в среднем увеличивался или уменьшался каждый уровень ряда по сравнению с предыдущим за ту или иную единицу времени (в среднем ежемесячно, ежегодно и т.п.).

Средний абсолютный прирост характеризует среднюю абсолютную скорость роста (или снижения) уровня ряда. Его рассчитывают в зависимости от исходных данных следующими способами:

1) как простую среднюю арифметическую из абсолютных приростов (цепных) за последовательные промежутки времени: (7.3)

2) как частное от деления базисного абсолютного прироста конечного уровня ряда на продолжительность периода: (7.4)

3) через накопленный (базисный) абсолютный прирост: (7.5)

Средний коэффициент роста (снижения) показывает, во сколько раз в среднем за единицу времени изменяется уровень ряда динамики. Для его вычисления используется формула средней геометрической в предположении, что соблюдается равенство фактического отношения конечного уровня к начальному при замене фактических темпов на средние. В зависимости от наличия исходных данных расчет проводят следующим образом:

1) если исходной информацией служат цепные коэффициенты роста, то формула имеет вид: , где П – произведение цепных показателей динамики.

2) Через базисный коэффициент роста конечного периода: (7.6)

3) Если известны уровни динамического ряда: (7.7)

Средний темп роста представляет собой средний коэффициент роста, выраженный в процентах . Отсюда средний темп прироста .

Пример.

Имеются следующие данные (табл. 7.5) о производстве хлеба и хлебобулочных изделий в регионе за сутки:

Таблица 7.5 – Исходные данные


Хлеб и хлебобулочные изделия, т

Определить показатели динамики производства хлеба и хлебобулочных изделий от года к году и средние за весь анализируемый период.

Решение:

Наименование показателя	Год

Абсолютный прирост , т	с переменной базой	-
с постоянной базой	-
Коэффициент роста (К_р)	с переменной базой	-
с постоянной базой	-
Темп роста, Т_р, %	с переменной базой	-
с постоянной базой	-
Темп прироста, Т_пр, %	с переменной базой	-
с постоянной базой	-
Абсолютное значение 1% прироста (снижения) А, т	с переменной базой	-
с постоянной базой	-