Метод простой итерации. Для того чтобы применить метод простой итерации, необходимо систему уравнений

Для того чтобы применить метод простой итерации, необходимо систему уравнений

(2.1)

с квадратной невырожденной матрицей привести к виду

, (2.2)

где – квадратная невырожденная матрица с элементами , – вектор-столбец неизвестных , – вектор-столбец с элементами , . Существуют различные способы приведения системы (2.1) к виду (2.2). Рассмотрим самый простой.

Представим систему в развернутом виде:

(2.3)

Из первого уравнения системы (2.3) выразим неизвестную :

из второго уравнения – неизвестную : и т. д. В результате получим систему:

(2.4)

Матричная запись системы (2.4) имеет вид (2.2). На главной диагонали матрицы находятся нулевые элементы, а остальные элементы вычисляются по формулам:

(2.5)

Очевидно, что диагональные элементы матрицы должны быть отличны от нуля. Выберем произвольно начальное приближение. Обычно в качестве первого приближения берут или . Подставим начальное приближение в правую часть (2.4). Вычисляя левые части, получим значения . Продолжая этот процесс дальше, получим последовательность приближений, причем приближение строится следующим образом:

Последняя система представляет собой расчетные формулы метода простой итерации.

Сходимость метода простой итерации. Известно следующее достаточное условие сходимости метода простой итерации.

Если элементы матрицы удовлетворяют условию:

, (2.6)

то итерационная последовательность сходится к точному решению .

Условие (2.7) называют условием преобладания диагональных элементов матрицы , так как оно означает, что модуль диагонального элемента -ой строки больше суммы модулей остальных элементов этой строки, .

Необходимо помнить, что условие сходимости (2.6) является лишь достаточным. Его выполнение гарантирует сходимость метода простых итераций, но его невыполнение, вообще говоря, не означает, что метод расходится.

Справедлива следующая оценка погрешности:

, (2.7)

где .

Правую часть оценки (2.7) легко вычислить после нахождения очередного приближения.

Иначе достаточное условие (2.6) для матрицы может быть переформулирована так: если , то итерационный процесс (2.6) сходится к точному решению системы.

Критерий окончания. Если требуется найти решение с точностью , то в силу (2.7) итерационный процесс следует закончить, как только на -ом шаге выполнится неравенство: .

Поэтому в качестве критерия окончания итерационного процесса можно использовать неравенство , где .

Если выполняется условие , то можно пользоваться более простым критерием окончания:

. (2.8)

В других случаях использование последнего критерия (2.8) неправомерно и может привести к преждевременному окончанию итерационного процесса.

Пример 2.1. Применим метод простой итерации для решения системы уравнений

Заметим, что метод простой итерации сходится, так как выполняется условие преобладания диагональных элементов:

, ,

, .

Пусть требуемая точность . Вычисления будем проводить с четырьмя знаками после десятичной точки.

Приведем систему к виду:

Величина равна 0,1179, т. е. выполняется условие и можно пользоваться критерием окончания итерационного процесса (2.8). В качестве начального приближения возьмем элементы столбца свободных членов: . Вычисления будем вести до тех пор, пока все величины , , а следовательно, и не станут меньше .