Из определения вероятности (см §2) ясно видно, что вероятность описывает некоторую реальную закономерность, проявляющуюся при массовом повторении случайного испытания. Однако для построения математической теории важно не только установить естественно-научное значение основных понятий, но и формально перечислить их основные свойства. Так, в геометрии простейшие, лежащие в основе построения теории свойства точек и прямых, перечисляются в аксиомах, например: через две различные точки проходит одна и только одна прямая. Точно так же, логическое построение теории вероятностей основано на фиксации первичных, не подлежащих определению понятий данной теории. Их основные свойства формулируются в виде ряда аксиом. После этого все предложения теории (иначе говоря, все теоремы) выводятся из аксиом строго логическим путем, без обращения к посторонним понятиям опыта, наглядности, устойчивости частот и т.д.
Современная аксиоматика теории вероятностей принадлежит советскому математику А.Н. Колмогорову.
|
|
Приведём сначала некоторые предварительные соображения.
Заметим, что среди событий по отношению к данному опыту можно выделить такие, которые являются простейшими, элементарными.
Элементарные события характеризуются тем, что при каждом осуществлении опыта наступает одно и только одно из них и, что любое событие А, связанное с данным опытом, должно распадаться на элементарные, т.е. представляться в виде суммы некоторого множества элементарных событий.
Пример1. В опыте с бросанием игральной кости события , где означает выпадение i очков, являются элементарными. Действительно, любое событие, представляющее интерес в связи с бросанием игральной кости, формулируется как некоторое условие на число очков (например: число очков чётное, число очков превосходит 3 и т.д.). Отсюда ясно, что каждое событие, связанное с данным опытом, распадается на элементарные события .
Пример2. Пусть опыт заключается в «бросании» точки в области Ω на плоскости. Элементарное событие – это попадание точки в определенную точку области Ω. Ясно, что суммами таких событий исчерпываются все мыслимые исходы опыта. В данном примере, в отличие от предыдущего, множество элементарных событий бесконечно. Можно считать его совпадающим с множеством всех точек области Ω.
Возвращаясь к общей ситуации, обозначим через Ω множество всех элементарных событий для данного опыта. Каждому событию А, связанному с данным опытом, можно сопоставить подмножество множества Ω; это подмножество состоит из тех элементарных событий, на которые распадается А. В аксиоматике Колмогорова событие А отождествляется с соответствующим подмножеством в Ω. В такой интерпретации, например: событие «на игральной кости выпало нечётное число очков» есть подмножество в множестве , а событие «точка попала в подобласть Д области Ω на Рис.1.» есть подмножество множества Ω, состоящее из всех точек Д указанной подобласти.
|
|
Рис.1
Такой подход к понятию события удобен тем, что благодаря ему, понятия суммы cобытий, произведения cобытий и противоположного события приобретают естественно теоретико-множественный смысл, а именно: сумма событий А и В превращается в объединение соответствующих подмножеств, произведение событий А и В – в пересечение этих подмножеств, а противоположное событие - в дополнению к подмножеству А в Ω.
Таким образом, математическая формализация модели случайного опыта разбивается на две группы аксиом.