Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля

Все конечные множества можно распределить по классам в зависимости от количества в них элементов, т.е. в каждом классе будут находиться равномощные множества. Они различны по сво­ей природе, но содержат поровну элементов.

С теоретико-множественной позиции количественное нату­ральное число есть общее свойство класса конечных равномощных множеств.

Каждому классу соответствует только одно натуральное чис­ло, каждому натуральному числу – только один класс равномощных множеств.

Рассмотрим, например множества:

- множество букв в слове «число»;

- множество сторон в пятиугольнике.

В этих множествах одинаковое число элементов, в чем можно убедиться, установив взаимно однозначные соответствия между ними. Это общее, что характеризует каждое из множеств одного класса, называется натуральным числом. Данные множества харак­теризуются числом пять. Это число характеризует свойство и дру­гих множеств этого класса.

Каждому конечному множеству соответствует только одно на­туральное число, но каждому натуральному числу соответствуют различные равномощные множества из одного класса.

Пример:

1) «Сколько пальцев на руке?»

2) «Возьми пять любых предметов».

В первом случае ответ однозначный (пять), во втором воз­можны различные варианты выполнения задания.

Число «нуль» не является натуральным.

С точки зрения теории множеств число «нуль» рассматривает­ся как число элементов пустого множества.

Знакомя дошкольников с различными числами и их записью с помощью цифр, показывают различные равномощные множест­ва и соотносят им изучаемое число:

- На рисунке изображены три фигуры.

- На столе лежат три яблока.

- Маша, Коля, Вася - это три имени.

- Число «три» записывают цифрой 3, что обозначает «три предмета».

Так как натуральное число оказывается связанным с конеч­ным множеством, то и действия над натуральными числами мож­но рассматривать в связи с действиями над множествами. Так, сло­жение чисел связывают с объединением непересекающихся мно­жеств, а вычитание - с дополнением подмножества.

Пусть а – число элементов в множестве А, b – число элемен­тов в множестве В, и множества А и В не пересекаются. Тогда сум­мой натуральных чисел аиbназывают число элементов в объединении множеств А и В.

Сумма натуральных чисел всегда существует, единственно и но зависит от выбора представляющих их множеств.

Рассмотрим пример. Пусть 2 – число элементов в множестве А (А может быть множеством из двух яблок, множеством из двух геометрических фигур и т. д.), 3 – число элементов в множестве В (В – может быть множеством из трех треугольников, множеством из трех груш и т.д.). Множества А и В не должны иметь общих элементов. Тогда 2 + 3 представляет собой число элементов в объ­единении множеств А и В. Если пересчитать их, то получим, что 2 + 3 = 5.

Действие, при помощи которого находят сумму, называют сло­жением, а числа, которые складывают, слагаемыми.

Исходя из данного определения суммы, можно обосновать из­вестные законы сложения чисел:

1) переместительный, т.е. а + b = b + а для любых натуральных, чисел аиb.

2) сочетательный, т.е. (а + b) + с = а + (b + с) для любых натуральных чисел а, b и с.

Переместительный и сочетательный законы сложения распро­страняются на сложение любого числа слагаемых. Переместитель­ный закон разрешает любую перестановку слагаемых, а сочетатель­ный – любую их группировку.

Дошкольники используют эти законы при поиске удобного способа нахождения суммы. Так, считается более простым прибав­лять меньшее слагаемое к большему, удобнее складывать слагае­мые, дополняющие друг друга до 10 и т.п.

Задание 26.

Если 0 – число элементов пустого множества, то каков смысл суммы а + 0?

Сравнение чисел также можно выполнять, оперируя с множе­ствами. Например, чтобы установить отношение 3 < 4, достаточно показать, используя прием приложения (рис.66), что под одним треугольником нет квадрата, т.е. в данной ситуации в множестве квадратов выделено подмножество, равномощное множеству треугольников.

Рис. 66

Пусть а – число элементов в множестве А, b – число элемен­тов в множестве В. Если множе­ство А равномощно подмножеству множества В, то а < b (b > а). Если множества А и В равномощны, то а = b.

Можно определить отношение «меньше» для чисел, не обра­щаясь к множествам. Например, было 5 яблок, добавили 1, стало 6 яблок. Яблок стало больше на 1, значит 6 больше 5, а 5 меньше 6.

Число а меньше числа b тогда и только тогда, когда сущест­вует такое натуральное число с, что а + с = b.

Как уже было сказано, вычитание чисел связано с дополнени­ем подмножества.

Пусть а – число элементов в множестве A, b – число элемен­тов в множестве В и В – подмножество множества А. Тогда разностью натуральных чисел а и b называется число элементов в дополнении множества В до множества А.

Действие, при помощи которого находят разность а - b, на­зывается вычитанием, число а - уменьшаемым, число b - вы­читаемым.

Например, смысл разности 5-3 можно объяснить следующим образом. Возьмем множество А, в котором 5 элементов (квадра­тов, яблок и др.).Выделим из множества А подмножество В, в ко­тором 3 элемента. Тогда 5-3 будет представлять число элементов в дополнении множества В до множества А. Путем пересчета мож­но установить, что 5-3 = 2.

Разность натуральных чисел а и b существует и единственна только при условии, что b < a.

Задание 27.

Каков теоретико-множественный смысл разности:

а) а -0; б) а - а?

Можно определить разность чисел, не обращаясь к множест­вам.

Разностью натуральных чисел а и b называется такое нату­ральное число с, что а + b = с.

К этому определению разности обращаются, находя значения числовых выражений. Например, найти разность 7-3 – это значит найти такое число, которое в сумме с числом 3 дает 7.