Классическая схема теории вероятностей

Рассмотрим частный случай, когда множество

Ω – пространство элементарных событий, является конечным множеством.

Пусть элементы этого множества (элементарные события) есть . Согласно схеме §5 любое событие А есть подмножество в Ω, т.е.

Тогда, поскольку - попарно несовместны, получаем

. (1)

Значит, чтобы знать вероятность события А надо знать - вероятности элементарных событий.

Рассмотрим частный (классический) случай когда все числа равны между собой: . Другими словами, все элементарные исходы (события) опыта равновероятны. Тогда, поскольку

-достоверное событие,

получаем

и значит .

Значит из формулы (1) получаем: если событие А представляется в виде суммы к равновероятных элементарных событий, то его вероятность будет равна

(к - слагаемых)

Или

. (2)

Формула (2) позволяет решать многие задачи для нахождения вероятностей. В соответствии со сказанным, её применяют в тех случаях, когда для данного опыта можно указать группу из конечного числа событий со следующими свойствами:

1. В результате опыта каждый раз наступает одно и только одно из этих событий

2. Указанные события по условиям данного опыта равновероятны.

При выполнении этих условий вероятность события А вычисляется по формуле (2)

Обычно события - называют элементарными исходами (случаями), а те элементарные исходы, которые в сумме составляют А, называют благоприятными исходами для события А. В этой терминологии формула (2) читается так: вероятность события А равна отношению числа благоприятных для события А исходов к числу всех (элементарных) исходов.

Пример 1. В урне находятся 10 шаров: 4 белых и 6 чёрных. Из урны наудачу извлекают шар. Какова вероятность, что он окажется чёрным (событие А)

Решение: Представим себе, что шары снабжены номерами 1,2,…,10. Обозначим через следующее событие: извлечение шара с номером i. Тогда события будут элементарными исходами. Действительно, при каждом осуществлении опыта, наступает одно и только одно из них, а слово «наудачу» в формулировке задачи служит указанием на то, что все события равновероятны. Интересующему нас событию А благоприятны шесть исходов. Значит в данном случае n =10, k =6 и значит .

Замечание. При решении этой задачи мы использовали подробные (громоздкие) рассуждения. При соответствующем навыке можно рассуждать короче, например, так: из 10 возможных случаев событию А благоприятны 6, следовательно, .