Пример 5.2

С помощью теоремы об устойчивости по первому приближению исследовать на устойчивость все состояния равновесия системы

Решение. Для нахождения состояний равновесия решим систему уравнений

Итак, рассматриваемая система имеет следующие состояния равновесия: , и .

Найдем матрицу Якоби системы: .

Для точки матрица Якоби имеет вид . Ее собственные значения . Поэтому решение неустойчиво по Ляпунову.

С помощью пакета Maple построим фазовый портрет рассматриваемой системы в окрестности начала координат.

Рис. 5.1. Фазовый портрет системы в окрестности точки

Для точки матрица Якоби имеет вид . Ее собственные значения . Поэтому решение асимптотически устойчиво по Ляпунову.

С помощью пакета Maple построим фазовый портрет рассматриваемой системы в окрестности точки .

Рис. 5.2. Фазовый портрет системы в окрестности точки

Для точки матрица Якоби имеет вид . Ее собственные значения . Поэтому решение неустойчиво по Ляпунову.

С помощью пакета Maple построим фазовый портрет рассматриваемой системы в окрестности точки .

Рис. 5.3. Фазовый портрет системы в окрестности точки