2015-02-27
885
Рассмотрим автономную систему
(5.1)
Пусть 
– положение равновесия системы (5.1). Будем предполагать, что функции 
дважды непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки 
.
Разложим каждую из функций 
в ряд Тейлора в окрестности точки a:
Здесь 
, , 
, 
.
Тогда система (5.1) будет иметь вид:
(5.2)
Отбросив в разложении (5.2) нелинейный член 
, квадратичный по 
, получим линейную систему
. (5.3)
Система (5.3) – линеаризованная в окрестности точки система (5.1), или система линейного приближения (система первого приближения).
Теорема 5.1 (об устойчивости по первому приближению). Пусть функция 
дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности положения равновесия . Если вещественные части всех собственных значений матрицы Якоби 
отрицательны, то положение равновесия асимптотически устойчиво по Ляпунову и справедлива оценка
,
где 
– некоторые положительные постоянные, для всех 
достаточно близких к точке .
Замечание 5.1. Теорема 5.1 не охватывает так называемый критический случай, когда хотя бы одно собственное значение матрицы имеет вещественную часть равную нулю, а остальные ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части. В этом случае на устойчивость решения начинают влиять квадратичные члены и исследование на устойчивость по первому приближению невозможно.
Теорема 5.2 (о неустойчивости по первому приближению). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в некоторой окрестности положения равновесия . Если хотя бы одно собственное значение матрицы Якоби имеет положительную вещественную часть, то положение равновесия неустойчиво по Ляпунову.
Замечание 5.2. Теоремы об устойчивости и неустойчивости по первому приближению остаются справедливыми и в том случае, когда исходная система неавтономная, то есть имеет вид 
. При этом предполагается, что 
и система может быть представлена в виде 
.
