Метод Пуанкаре в теории нелинейных колебаний

Неавтономные уравнения

Метод Пуанкаре предназначен для построения периодических решений нелинейных систем, дифференциальные уравнения которых содержат малый параметр m. При этом предполагается, что обращение в нуль малого параметра не понижает порядка системы.

Метод Пуанкаре базируется на двух положениях:

1) порождающая система, т.е. система, получающаяся из исходной при m =0, содержит периодические решения с некоторым периодом, частным случаем которых могут быть постоянные величины;

2) периодические решения исходной системы строятся при помощи подбора начальных данных всех входящих в систему неизвестных функций.

Начнем с решения следующей задачи: требуется найти периодическое решение периода T дифференциального уравнения:

. (7.1)

Заметим, что если решение уравнения (7.1) имеет период T, то , то есть функция f(t) обязана быть периодической с периодом T. Выполнив в (7.1) замену времени и положив , получим

То есть новая правая часть в новом времени будет 2 p -периодической функцией. Поэтому правую часть уравнения (2.9.1) можно без ограничения общности считать 2 p -периодической функцией.

Будем считать, что функция f(t) непрерывна и может быть разложена в сходящийся ряд Фурье

. (7.2)

Пользуясь принципом суперпозиции, частное решение уравнения (7.1) будем искать в виде ряда

. (7.3)

Дифференцируя ряд (7.3) почленно два раза и подставляя в (7.1), получим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых гармониках слева и справа в последней формуле, будем иметь

Тогда

(7.4)

Из предположения о непрерывности f(t) следует, что ряд (7.4) можно почленно дифференцировать. Поэтому ряд (7.4) есть решение уравнения (7.1), если только ни для какого k. Если же число целое (), то соответствующее слагаемое в правой части (7.4) обращается в , и периодическое решение не существует.

Полученный результат можно было легко предугадать, если вспомнить, что при линейное уравнение имеет решение вида , не являющееся периодическим.

Из приведенных рассуждений вытекает следующий вывод: если не является целым числом, а f(t) – 2 p -периодическая функция, то уравнение (7.1) всегда имеет 2 p - периодическое решение, доставляемое формулой (7.4). Если же – целое число, то 2 p - периодическое решение уравнения (7.1) существует лишь в том случае, когда в разложении функции f(t) в ряд Фурье отсутствуют «резонирующие члены» a_k и b_k, то есть если:

(7.5)

Если и выполнено условие (7.5), то уравнение (7.1) имеет бесконечное число 2 p -периодических решений, которые даются формулой:

Если же , то уравнение (7.1) имеет единственное периодическое решение (7.4).

Пример 7.1. Существуют ли периодические решения уравнения

Здесь – целое число.

Так как условия не выполняются, то периодического решения у рассматриваемого уравнения нет.

Аналитическая зависимость решений от параметров

Рассмотрим задачу Коши для системы уравнений

(7.6)

где m является параметром.

Теорема 7.1. Если в системе (7.6) функции непрерывны по переменной t, а также функции и аналитические функции параметра m в некоторой окрестности точки , то решение этой системы разлагается в сходящийся при малых m ряд по степеням параметра m:

(7.7)

Доказательство этой теоремы достаточно громоздко и здесь опущено.

Метод разложения решения по степеням малого параметра лежит в основе многих приемов исследования нелинейных колебаний с малой нелинейностью.

Рассмотрим следующую задачу: найти периодическое решение уравнения:

(7.8)

с 2 p -периодическими по переменной t функциями f(t) и , считая, что -периодическое решение порождающего уравнения:

(7.9)

существует и нам известно. Считая, что функция непрерывна по t и является аналитической по переменным x и , на основании приведенной выше теоремы, будем искать решение уравнения (7.8) в виде ряда (7.7).

Разложим функцию в ряд по степеням в окрестности точки

(7.10)

Подставим в левую и правую части уравнения (7.8) вместо и x ряд (7.7) и его соответствующие производные, а вместо выражение (7.10). Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях m в левой и правой частях полученного равенства, будем иметь:

(7.11)

Каждое следующее уравнение (7.11) будет содержать в правой части только известные функции, найденные из предыдущих уравнений. Поэтому все решения уравнений (7.11) могут быть последовательно найдены.

Если мы хотим найти 2 -периодическое решение уравнения (7.8), то все члены ряда (7.7) должны быть 2 -периодическими функциями. Значит каждое из уравнений (7.11) должно иметь 2 -периодическое решение. Выясним, когда эти условия выполняются.

1) , где n – какое-либо целое число. Тогда 2 p -периодическое решение у порождающего уравнения (7.9) и всех остальных уравнений в (7.11) существует всегда. Все эти решения могут быть найдены так, как было описано выше.

2) . Тогда порождающее уравнение (7.9) имеет периодическое решение лишь при условии равенства нулю коэффициентов a_n и b_n в разложении функции f(t) в ряд Фурье, то есть при выполнении условий:

. (7.12)

Если условия (7.12) выполнены, то порождающее уравнение имеет решение:

Для определения имеем второе уравнение из (7.11). Оно будет иметь периодическое решение, если

. (7.13)

Уравнения (7.13) содержат , которые, вообще говоря, определяются из этой системы. Если удовлетворяют системе (7.13), то все решения второго уравнения в (7.11) будут периодическими с периодом 2 p и будут иметь вид:

. (7.14)

При этом опять определяются из двух условий, аналогичных (7.12) и (7.13), для третьего уравнения из (7.11). И так далее.

Как мы видим, в случае 2) (резонансный случай), вообще говоря, не любому 2 -периодическому решению порождающего уравнения соответствует периодическое решение уравнения (7.8), задаваемое рядом (7.7), которое при сходится к решению порождающего уравнения. Существование подобного решение нужно доказать. Такое доказательство составляет содержание известной теоремы Пуанкаре. Но это доказательство очень громоздко и здесь не приводится.

Пример 7.2. Найти приближенно периодическое решение уравнения:

, где m – малый параметр.

Решение будем искать в виде ряда по степеням малого параметра, то есть в виде

Тогда

Подставим ряды в исходное уравнение

Приравняем коэффициенты при одинаковых степенях параметра в левой и правой частях последнего равенства:

(7.15)

Поскольку , порождающее уравнение имеет единственное периодическое решение, которое будем искать в виде:

После двукратного дифференцирования и подстановки в первое уравнение (7.15), получим:

Для отыскания x ₁ имеем уравнение

Будем искать x ₁ в виде:

После двукратного дифференцирования и подстановки в уравнение получим:

Итак, .

Подставим найденные функции x ₀и x ₁ в правую часть последнего уравнения (7.15). Тогда оно примет вид

(7.16)

Будем искать решение последнего уравнения в виде

После двукратного дифференцирования последнего выражения и подстановки в уравнение (7.16), находим

Итак, справедливо приближенное равенство

. (7.17)

Используя пакет Mathcad, сравним полученное решение (7.17) с точным решением исходного уравнения на периоде . Для этого найдем для решения (7.17) значения x (0) и , после чего найдем решение исходного уравнения с заданными начальными условиями, например, методом Рунге-Кутта. Результаты расчетов приведены ниже.

Исследуемое уравнение:

График для m=0.5 (жирная линия – решение методом Рунге-Кутта)

График для m=0.3 (жирная линия – решение методом Рунге-Кутта)

Автономные уравнения

Пусть задано уравнение, правая часть которого не зависит явно от t:

. (8.1)

Отсутствие t в правой части приводит к усложнению задачи, так как период искомого решения оказывается неизвестным. Он будет, вообще говоря, зависеть от параметра .

Для решения задачи в этом случае нужно преобразовать уравнение к новой независимой переменной так, чтобы по новой переменной уравнение уже имело постоянный период, а уже затем искать решение в виде ряда по параметру m.

Предварительно выполним в (8.1) замену времени, положив . Тогда в новом времени уравнение примет вид:

, (8.2)

где производные и вычислены по переменной t ₁, а .

При m =0 порождающее уравнение имеет 2 p -периодическое решение вида , удовлетворяющее начальным условиям . Периодические решения уравнения (8.2), если они существуют, будут иметь период , причем – аналитическая функция m и при . Пусть:

Тогда:

Преобразуем уравнение (8.2) так, чтобы его решение имело постоянный период 2 p. Этого можно добиться заменой переменных:

(8.3)

Действительно, если t ₁ меняется от 0 до , то t меняется от 0 до 2 p.

В новых переменных уравнение (8.2) приобретает вид:

(8.4)

где все производные вычислены по переменной t.

Периодическое решение уравнения (8.4) будем искать в виде ряда

, (8.5)

где все – 2 p -периодические функции переменной t. Подставляя (8.5) в уравнение (8.4), получим:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра m в левой и правой частях последнего равенства, последовательно получим:

(8.6)

Для того, чтобы второе уравнение в (8.6) имело периодическое решение, необходимо и достаточно, чтобы в его правой части отсутствовали резонирующие члены, то есть чтобы выполнялись условия:

(8.7)

Первое из этих уравнений дает возможность найти С (начальное условие периодического решения), а второе – найти h ₁. Таким образом, будет приближенно определен период искомого периодического решения:

Зная С и h ₁, можно определить и, если это необходимо, , и так далее.

Пример 8.1. Определить решения порождающего уравнения, к которым при приближаются периодические решения уравнения:

(8.8)

Решения порождающего уравнения имеют вид . Для определения искомых значений С воспользуемся первым из уравнений (8.7):

При С =0 получаем тривиальное решение порождающего уравнения, которое остается решением уравнения (8.8) при любом m.

При получаем .

Теорема Ляпунова и несколько практических замечаний

Теорема Ляпунова выделяет класс систем, у которых в некоторой окрестности состояния равновесия существует периодическое решение и дает метод отыскания этого решения.

Теорема 8.1. Если уравнение обладает аналитическим первым интегралом , причем разложение в окрестности точки начинается с членов второго порядка малости:

то все решения уравнения с достаточно малыми начальными условиями есть периодические функции t. Каждое такое решение является аналитической функцией параметра с.

Сформулированная теорема позволяет искать период периодического решения уравнения

в виде

и вводить новое время по формуле

, (8.9)

не вводя малого параметра m. При этом решение следует искать в виде ряда

(8.10)

Заметим, что если в уравнении не присутствует явно малый параметр и при этом в окрестности состояния равновесия выполнены условия теоремы Ляпунова, то для поиска периодического решения можно либо воспользоваться его разложимостью в ряд по начальным отклонениям с (формулой (8.10)), либо ввести малый параметр и использовать разложение по степеням малого параметра.

Пример 8.2. Найти приближенно периодическое решение уравнения Дуффинга

. (8.11)

Для решения задачи можно ввести малый параметр:

Здесь m считаем малым. Теперь можно воспользоваться рассмотренной выше процедурой отыскания решения уравнения с малым параметром.

Заметим, что уравнение Дуффинга обладает аналитическим первым интегралом, для которого выполнены условия теоремы Ляпунова: . Поэтому данное уравнение можно решать, выполнив замену переменных (8.9) и отыскивая решение в виде ряда (8.10) по степеням начального возмущения с.

Выполним замену (8.9). Тогда

и уравнение примет вид

(8.12)

Решение будем искать в виде ряда (8.10). После двукратного дифференцирования и подстановки этого ряда в уравнение (8.12) будем иметь:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях с в обеих частях последнего равенства, получим

(8.13)

Начальные условия для этих уравнений определяются так:

(8.14)

Первое из уравнений (8.13) будет иметь общее решение вида . Из начальных условий находим, что . Итак, . Второе уравнение тогда примет вид

Для того, чтобы это уравнение имело периодическое решение, в его правой части должны отсутствовать резонирующие члены. Это имеет место лишь при . Таким образом, для получаем уравнение , из которого, с учетом начальных условий (8.14), находим .

Для получаем уравнение

Запишем условия отсутствия резонирующих членов в правой части этого уравнения:

Второе из выписанных соотношений всегда выполнено, а первое дает условие

Итак, следует искать из уравнения:

Отыскивая 2 p -периодическое решение этого уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , получим:

Итак,

Учитывая (8.9), окончательно получим

Пример 8.3. Найти приближенно периодическое решение уравнения:

Выполним замену времени . Тогда в новом времени исходное уравнение примет вид

(8.15)

Решение уравнения (8.15) будем искать в виде ряда (8.5). При этом будем искать решение с начальными условиями Тогда:

Здесь – решение порождающего уравнения, то есть уравнения (8.15) при . Поэтому

Сравнивая коэффициенты при в обеих частях равенства (8.15), найдем

Учитывая вид , получим

(8.16)

Найдем условия существования периодического решения у уравнения (8.16). Для этого запишем соотношения (8.7). Чтобы записать это соотношение, нужно последовательно умножить правую часть уравнения (8.16) на и и, проинтегрировав полученные выражения, приравнять интегралы в нулю. В данном случае (убедиться в этом самостоятельно) результатом реализации описанных операций будут соотношения:

Таким образом, c = 0 или . Для c = 0 получаем тривиальное решение порождающего уравнения, которое остается решением исследуемого уравнения при любом m. Для c = 4 получаем периодическое решение порождающего уравнения Тогда для определения будем иметь уравнение