П.4. Бесконечно малые, бесконечно большие и локально ограниченные функции

Функция называется бесконечно малой при , если (рис. 5, 6).

Пример. – бесконечно малая функция при .

Две бесконечно малые при функции f (x) и g (x) называются эквивалентными бесконечно малыми, если . Основные соотношения эквивалентностей:

при , (1)

при , (2)

при , (3)

при , (4)

при , (5)

при , (6)

при . (7)

Функция называется бесконечно большой при , если для любого числа , сколь бы большим оно ни было, можно указать такую окрестность U (a) точки х = а (не включающую саму точку а), что при всех х, принадлежащих этой окрестности, выполняется неравенство .

Предел бесконечно большой функции при обозначается символом : и называется бесконечным пределом функции при .

Определение бесконечно большой функции при можно записать символически следующим образом:

.

Геометрически существование бесконечного предела означает, что значения функции становятся сколь угодно большими по модулю, если значения аргумента достаточно близки к точке х = а (рис. 7, 8).

Пример. – бесконечно большая функция при .

Бесконечный предел последовательности означает, что члены последовательности становятся сколь угодно большими по модулю при достаточно больших номерах n:

.

Функция называется локально ограниченной в точке х = а, если существует такая окрестность точки U (a), в которой значения функции удовлетворяют неравенству , где m и M – некоторые числа.

Любая функция, имеющая конечный предел при , в том числе и бесконечно малая функция, является локально ограниченной в точке х = а.

Если – бесконечно большая при , то она не является локально ограниченной в точке х = а.

Пример. – локально ограниченная функция во всех точках, кроме точек х = 1 и х = –1.